Encontrar la suma de $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

Question

Me gustaría comprobar que tengo esta correcto

Encontrar la suma $$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$ Sugerencia: racionalizar los denominadores para obtener una "telescópica' suma: una suma de términos en el que muchas parejas suman cero.

Yo racionalizar los denominadores para obtener una serie como esta: $$\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} +...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1} $$ Que se puede escribir: $$\sqrt{2}-\sqrt{1} + \sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}...+ \sqrt{99}-\sqrt{98} +\sqrt{100}-\sqrt{99}$$ Que es el telescópico suma la pregunta habla. La mayoría de los términos de la gota para salir $$-\sqrt{1} +\sqrt{100} = 9$$

Tengo esto correcto?

Answer 1

usted también podría hacerlo por inducción

conjetura: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n}-1$ $n \in [2,3,4 ...]$

Para $n=2$:

$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$$

Para $n+1$: $$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$$

$$= \sqrt{n} - 1 + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$$

$$= \sqrt{n} - 1 + \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$

$$= \sqrt{n+1}-1$$

$$Q.E.D.$$