Demostrar que toda traslación o rotación de $\Bbb E^2$ es un compuesto de rotaciones alrededor de $P$ y $Q$ .

Question

Demostrar que toda traslación o rotación de $\Bbb E^2$ es un compuesto de rotaciones alrededor de $P$ y $Q$ .

Answer 1

Lema 1. Para $d$ con $0\le d\le 2\operatorname{dist}(P,Q)$ existe una traducción por $d$ en una dirección adecuada, que se puede lograr.

Prueba. Girar alrededor de $P$ por $\alpha$ y alrededor de $Q$ por $-\alpha$ produce una traslación en la que la distancia (y la dirección) depende continuamente de $\alpha$ . Para $\alpha=0$ la distancia es $0$ y para $\alpha=\pi$ es $2\operatorname{dist}(P,Q)$ . La afirmación se desprende del teorema del valor intermedio. $\square$

Lema 2. Todas las traducciones son posibles.

Prueba. Dejemos que $d$ sea la distancia de la traslación $\tau$ . Para $n$ lo suficientemente grande, $\frac dn$ está entre $0$ y $2\operatorname{dist}(P,Q)$ . Por el lema 1, existe una traslación $\tau'$ por una distancia $\frac dn$ que se puede conseguir. Entonces también puede el $n$ -repetición doble de $\tau'$ que es una traducción de $d$ . Si las direcciones de $\tau'$ y $\tau$ difieren en $\alpha$ se obtiene $\tau$ girando alrededor de $P$ por $\alpha$ y, a continuación, aplicar $\tau'$ repetidamente $n$ veces, y luego girando alrededor de $P$ por $-\alpha$ . $\square$

Lema 3. Todas las rotaciones son posibles.

Prueba. Una rotación por $\alpha$ alrededor de $X$ se obtiene traduciendo primero $X$ a $P$ (como en el lema 2), entonces girando alrededor de $P$ por $\alpha$ y, a continuación, traduciendo $P$ a $X$ de nuevo. $\square$ .