Decir que la secuencia de $a_n$ es "limitado arriba" es lo que dicen?

Question

Esta es una tarea de la pregunta por el curso de coursera Cálculo 2 Secuencias y Series ofrecidas por Jim Fowler en el Estado de Ohio

Decir que la secuencia de $a_n$ es "limitado arriba" es lo que dicen?

1. Para todos los $M\in \mathbb{R}$, existe un $n\in \mathbb{N}$, por lo que el $a_n \ge M$.
2. Existe una $M\in \mathbb{R}$, por lo que a $n\in \mathbb{N}$,$a_n \ge M$.
3. Para todos los $n\in \mathbb{N}$, existe un $M\in \mathbb{R}$, por lo que el $a_n \ge M$.
4. Para todos los $n\in \mathbb{N}$, existe un $M\in \mathbb{R}$, por lo que el $a_n \le M$.
5. Existe una $M\in \mathbb{R}$, por lo que a $n\in \mathbb{N}$,$a_n \le M$.

Estoy dividido entre la opción número 4 y la opción número 5. Estoy teniendo problemas para determinar cómo estas opciones son diferentes. ¿La opción número 4 sugieren que $M$ puede ser un número diferente para cada una de las $n \in \mathbb{N}$?

Gracias de antemano por su ayuda

Editar: Aquí está la definición de delimitada por encima de dado por el texto:

Definición: Una secuencia de ($a_n$) está delimitado por encima de si hay algún número $M$ , de modo que para todos los $n$,$a_n \le M$. Del mismo modo, una secuencia ($a_n$) está delimitado por debajo de si hay algún número$M$, de modo que para cada $n$ ,$a_n \ge M$. Si una secuencia es tanto delimitada por encima y delimitada a continuación, la secuencia se dice acotada.

Answer 1

La opción 4 es siempre la realidad: de hecho, puede usted escoger otro $M$ por cada $n$ (de modo que usted puede tomar $M = a_n$). La opción 5 es la correcta: un $M$ debe trabajar para todos los $n$.

(Y, para completar el sake, la opción 3 es siempre cierto; la opción 2 es "limitado abajo"; la opción 1 (equivalente a) la negación de la opción 5, es decir, "no acotada arriba").