¿Cómo podemos encontrar el máximo valor de $a$?

Question

Para $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ( $n\geq 2$), considere la posibilidad de

$\displaystyle a=\sin(x_1)\cos(x_2)+\sin(x_2)\cos(x_3)+\cdots+\sin(x_n)\cos(x_1).$

• ¿Cómo podemos encontrar el máximo valor de $a$?

• Para qué valores de a $x_1, x_2...., x_n$ es el máximo alcanzado?

Quiero conseguir la ayuda de usted, Si eso es posible.

Saludos

Answer 1

Por C-S y AM-GM obtenemos: $$\sum_{k=1}^n\sin{x_k}\cos{x_{k+1}}\leq\sqrt{\sum_{k=1}^n\sin^2x_k\sum_{k=1}^n\cos^2x_k}=$$ $$=\sqrt{\sum_{k=1}^n\sin^2x_k\left(n-\sum_{k=1}^n\sin^2x_k\right)}\leq\frac{n}{2}.$$ La igualdad se produce por $x_k=\frac{\pi}{4}$, que dice que $\frac{n}{2}$ es un valor máximo.