Deje $A$ ser un conmutativa $C^*$ álgebra con unidad, i.e un álgebra de Banach con una involución de la operación $^*$ la satisfacción de la identidad de $\|x^{*}x\|=\|x\|^2$ todos los $x\in A$ $B$ $C^*$- subalgebra de $A$ tener la misma unidad que la de $A$. Si $f: B\to\mathbb{C}$ ser un no-cero complejo álgebra homomorphism de $B$, entonces puede $f$ extenderse a un complejo de álgebra homomorphism de $A$? Estoy atascado con esto por un largo tiempo. Creo que el resultado es cierto, pero yo soy incapaz de probar rigurosamente. Gracias por la ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no se puede hacer en general. Tome $A=B(H)$, para un separables infinito-dimensional espacio de Hilbert $H$. Fix $x\in B(H)$ cero y auto-adjunto, y considerar la $C^*$-subalgebra $B$ generado por $x$$1$. Este será unital y conmutativa, por lo que tiene un montón de complejos homomorphisms por el Gelfand-Naimark teorema. Pero el único complejo homomorphism en $B(H)$ es el cero funcional, ya que es la única norma-cerrado ideal es el ideal de operadores compactos, que no es de codimension uno.
Otra un poco más fácil contraejemplo es $A=M_n(\mathbb C)$ ( $n>1$ ), y $B$ es el álgebra de la diagonal de las matrices en $A$. A continuación, $B$ $n$ complejo homomorphisms, a saber, la evaluación en una de las $n$ las entradas de la diagonal. Pero como $A$ es un simple $C^*$-álgebra, no tiene trivial álgebra homomorphisms.
EDITAR
Asumiendo $A$ es conmutativa, la respuesta es sí. Deje $\Omega(A)$ denotar el espacio de todo el complejo distinto de cero homomorphisms de $A$ dotado con los débiles$^*$-topología (y definir $\Omega(B)$ similar). La inclusión $j:B\to A$ induce un mapa continuo $j^*:\Omega(A)\to\Omega(B)$ través $j^*(\phi)=\phi\circ j$. Tenga en cuenta que esto es suficiente para mostrar que $j^*$ es surjective.
Desde $\Omega(A)$$\Omega(B)$, compacto y Hausdorff, $j^*(\Omega(A))$ es un subconjunto cerrado de $\Omega(B)$. Asumen ante una contradicción que $j^*(\Omega(A))\neq\Omega(B)$. Entonces por Urysohn del lexema, hay algunos distinto de cero $f\in C(\Omega(B))$ que se desvanece en $j^*(\omega(A))$. Por el Gelfand-Naimark teorema, $f=\Psi(b)$ algunos $b\in B$ donde $\Psi:B\to C(\Omega(B))$ es el Gelfand representación. Pero, a continuación, $\phi(b)=\phi\circ j(b)=f(j^*(\phi))=0$ todos los $\phi\in\Omega(A)$. Esto implica $b=0$, pero, a continuación,$f=0$, una contradicción.
