Cuando se $n^2-1$ una suma de dos cuadrados?

Question

Estoy tratando de averiguar cuando $n^2-1$ es una suma de dos cuadrados. Existe una formula para tal $n$? He encontrado $n=1$, $n=3$ y $n=9$ hasta ahora, pero estoy luchando para encontrar un patrón que se va a generalizar. Si no existe tal patrón, a continuación, ¿cómo podría yo demostrar que hay infinitamente muchos de esos $n$ que tienen esta propiedad?

E. g. Para $n=3$ tenemos $n^2-1=9-1=8=2^2+2^2$ $n=9$ tenemos $n^2-1=9^2-1=80=8^2+4^2$.

Answer 1

Aquí es una prueba de que hay infinitamente muchos de esos $n$. Tenga en cuenta que para cualquier $m\in\mathbb{N}$ ambos $m^2=m^2+0^2$ $m^2+1=m^2+1^2$ son una suma de dos cuadrados. De ello se deduce que tanto $2m^2$ $2m^2+2$ son una suma de dos cuadrados (ya que un producto de dos sumas de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados). Dejando $n=2m^2+1$,, $n^2-1=(n-1)(n+1)=2m^2(2m^2+2)$ es una suma de dos cuadrados. Por eso, $n^2-1$ es una suma de dos cuadrados, cada vez que $n$ tiene la forma $2m^2+1$.

Más explícitamente, tenemos $$(2m^2+1)^2-1=4m^4+4m^2=(2m^2)^2+(2m)^2.$$

---

En cierto sentido, todos los ejemplos deben provenir de una idea similar a esta (y, de hecho, que es cómo encontré con esto). Si $n^2-1$ es una suma de dos cuadrados, entonces mod $4$ consideraciones que requieren $n$ es impar. Luego tenemos la $n^2-1=4a(a+1)$ donde $a=\frac{n-1}{2}$ es un número entero. Por la clasificación de las sumas de dos cuadrados, $n^2-1$ es una suma de dos cuadrados iff $a$ $a+1$ son tanto las sumas de dos cuadrados (desde $a$ $a+1$ no comparten factores primos, y en particular sus factores primos que se $3$ mod $4$ son distintas). Para cada ejemplo viene de un par de números enteros consecutivos que son sumas de dos cuadrados; mi método anterior sólo vino a partir de la observación de que $m^2$ $m^2+1$ siempre le da un par.