Desigualdad con coseno y seno

Question

Deje$A:=f^2+g^2$, donde$f,g$ son funciones de$x$ tal que$$f'=(c-1)(f\cos(x)\sin(x)+g\sin^2(x)),$ $$$g'=-(c-1)(f\cos^2(x)+g\cos(x)\sin(x)),$ $

para alguna constante$c$.
(Nota: $f'\cos(x)+g'\sin(x)=0$)

¿Cómo muestro que$A'\leq4|c-1|A?$

veo que
\begin{align} A'&=2ff'+2gg'\\ &=2(c-1)\left(f^2\cos(x)\sin(x)+fg\sin^2(x)-fg\cos^2(x)-g^2\cos(x)\sin(x)\right)\\ &=2(c-1)(f\cos(x)+g\sin(x))(f\sin(x)-g\cos(x)). \end {align} ¿Pero cómo sigue la desigualdad deseada?

Answer 1

La desigualdad de Cauchy-Schwartz te dice que $$ | af + bg | \ le \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ sqrt {f ^ 2 + g ^ 2} $$ A partir de su resultado, obtenemos $$ A ^ \ prime \ le | A ^ \ prime | \ le 2 | c-1 | 1. \ sqrt {f ^ 2 + g ^ 2} 1. \ sqrt {f ^ 2 + g ^ 2} = 2 | c-1 | A $$

Answer 2

También puede usar la segunda ecuación anterior para encontrar a través de teoremas trigonométricos para el doble ángulo$$A'=(c-1)((f^2-g^2)\sin(2x)-2fg\cos(2x))$$ then using that $$(f^2-g^2)^2+(2fg)^2=(f^2+g^2)^2=A^2$ $ como en la construcción de los triples pitagóricos que incluso obtiene $$ A '\ le | c-1 | A $$