Idealmente generado y número de generadores.

Question

deje $I$ ser un finitely generado ideal de un anillo de $R$.

Supongamos $I/I^2$ $R/I$ módulo se genera por $r$ elementos, entonces la pregunta es para probar que $I$ es generado por $r+1$ elementos..

He tratado de inducción en el número de generadores de $I$ pero no podría tener éxito..

Entonces he tratado de demostrar por $r=0$..

Supongamos $r=0$ es decir, $I/I^2=0$ i.e, $I=I^2$..

Ahora, $I$ es finitely generado ideal y tenemos $IM=M$ $M=I$..

Entonces por nakayama lema, vemos que no existe $a\in I$ tal que $(1+a)M=0$

Deje $m\in I$ $(1+a)m=0$ es decir, $m=-am$..

Por lo tanto, $I\subseteq (-a)$.. Otros inclusión es trivial. por lo tanto, tenemos $I=(-a)$ generado por $1$ elemento...

Estoy pensando en utilizar la misma idea para $r\neq 0$..

Supongamos $r=1$, luego tenemos a $I/I^2=\langle a+I^2\rangle$ es decir, $I=\langle a \rangle +I^2$.. Ahora,quiero escribir $I=\langle a \rangle +I^2=JI$ para algunos ideal $J$ y repetir el mismo como en el caso de $r=0$. Pero no podía pensar en cualquier $J$.. por Favor me ayude a resolver esto...

Por favor, no escribir las respuestas, dar algunos consejos..

Answer 1

Si$I/I^2$ es generado por los elementos$r$, puede seleccionar los elementos$r$ en$I$, lo que genera$I/I^2$. Deje que$J$ sea el ideal generado por estos elementos$r$ y luego considere$S=R/J$ y$I'=I/J$ como ideal en$S$. Luego$I'/I'^2=0$ y usted tiene su argumento para este caso, mostrando que$I'$ es generado por un elemento y, por lo tanto,$I$ es generado por$r+1$ elementos. Mi declaración, que es más fuerte, también puede demostrarse con bastante facilidad y puedo escribirla si lo desea.