¿Es la reflexividad de la igualdad un axioma o un teorema?

Question

Todo el mundo sabe que la igualdad es reflexiva: $\forall(x)(x=x)$ . Pero, ¿se debe tomar la reflexividad de la igualdad como un axioma de la lógica o como un teorema de la teoría de conjuntos?

Si eliges la primera opción, probablemente necesites el axioma de extensionalidad: $\forall(x)\forall(y)(x=y\leftrightarrow\forall(z)(z\in x\leftrightarrow z\in y))$ .

Si elige esta última opción, probablemente $x=y$ es sólo una abreviatura de $\forall(z)(z\in x\leftrightarrow z\in y)$ .

Lo que estoy tratando de hacer es escribir pruebas de hechos básicos sobre la teoría de conjuntos, pero no estoy muy seguro de qué axiomas lógicos y reglas de inferencia debo dar por sentado.

Gracias.

Answer 1

Todos queremos que la reflexividad ser comprobada en cualquier de primer orden de la teoría, no sólo la teoría de conjuntos. Así que esta pregunta no tiene nada en particular que hacer con la teoría de conjuntos o con extensionality. Seguramente queremos que x=x en todos los grupos, todos los anillos, todos los gráficos, y así en cualquier contexto matemático.

Así que la respuesta es que, o bien hemos de añadir un axioma, o nos aseguramos de que tienen otras lógicas de los axiomas que pueden demostrarlo. ¿Qué te parecen querer o necesitar son los detalles explícitos de su prueba formal del sistema. Usted puede elegir entre varios sistemas lógicos (ver la página de Wikipedia en la prueba de la teoría de la http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_theory). En particular, la de Hilbert cálculo incluye la reflexividad explícitamente como un axioma lógico.

En última instancia, es una irrelevante opción si usted tiene como un axioma, o como un teorema, a menos que la prueba teórico, que es el estudio de las pruebas a sí mismos como objetos matemáticos, en lugar de utilizar la prueba de comprender su contenido matemático, como usted parece estar haciendo.

Answer 2

Me gustaría señalar que las propiedades habituales de la igualdad de la relación, incluyendo la reflexividad, siga de un sencillo de dos vías a prueba de regla de Lawvere (expresado en natural-deducción de estilo):

$$\frac{\Theta \vdash \phi[x/y]}{\Theta, x=y \vdash \phi}$$

Esto debe ser leído como una de dos vías de la regla (no sé cómo producir una doble línea horizontal), es decir, desde la parte superior podemos deducir la parte inferior y viceversa. La regla tiene la forma de una contigüidad entre functors, o una conexión de Galois si usted (igualdad que queda adjunto a la contracción es lo que dice la regla). Personalmente considero que esta más reveladora que preguntarse si la igualdad es axiomatized o derivados.

Por ejemplo, la reflexividad de la siguiente manera cuando tomamos $\phi$ a ser la fórmula $x = y$ y leemos la regla de abajo hacia arriba: porque $x = y \vdash x = y$ es también el caso de que $\vdash x = x$.

Referencia: Bart Jacobs, "Categórica de la lógica y de la teoría tipo", Lema 4.1.7, página 229, disponible en Google libros.

Answer 3

Creo que es importante considerar. El axioma de extensionality se proporciona como un medio para definir la igualdad entre conjuntos. Aproximadamente declaró decimos "Un conjunto X es igual al conjunto de Y si y sólo si ambos tienen exactamente los mismos elementos." Una más precisa declaración, teniendo en cuenta que nos gustaría para cuantificar el exceso dominios que podemos definir, es este:

1) $X=Y\leftrightarrow \ \forall x \in X\ (x\in Y) \ \wedge \ \forall y \in Y\ (y\in X).$

Esta es la definición de una relación de igualdad de conjuntos, y la reflexión viene de la definición en lugar de tener que ser presentado como un axioma. Por ejemplo, tomando X=X,

$\forall x \in X\ (x\in X) \ \wedge \ \forall x \in X\ (x\in X),$

es bastante cierto.

Podemos decir que la reflexividad es un teorema de aquí. Es una de las propiedades de una Relación de Equivalencia, que debe obedecer a la reflexividad, simetría y transitividad. Nuestro 'es igual a' la relación en conjuntos felizmente obedece a estas reglas. Me gusta considerar la igualdad como una posible relación podemos definir acerca de los objetos, con algunas de las propiedades que queremos que se mantenga. Si se nos viene las cosas desde la perspectiva de la lógica que podemos hacer de estas propiedades, axiomas y probar la existencia de tales relaciones como teoremas. No estoy completamente segura de esto. Pero desde la perspectiva de axiomatized la teoría de conjuntos, la extensionality axioma implica que el resto de la igualdad propiedades muy concretamente.

Answer 4

Me las arreglé para escribir una prueba para la reflexividad de la igualdad de usar sólo la definición de la igualdad en términos de la membresía y las reglas de deducción natural.

1. Premisa: $\forall x_0\forall x_1\left(\left(x_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in x_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
2. Asunción (1): $\forall x_0\forall x_1\left(\left(x_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in x_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
3. Universal eliminación (2): $\forall x_1\left(\left(k_0=x_1\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in x_1\right)\right)\right)$
4. Universal eliminación (3): $\left(\left(k_0=k_0\right)\leftrightarrow\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in k_0\right)\right)\right)$
5. (Subproof 1) Premisa: $\left(k_2\in k_0\right)$
6. (Subproof 1) Asunción (5): $\left(k_2\in k_0\right)$
7. (Subproof 2) Premisa: $\left(k_2\in k_0\right)$
8. (Subproof 2) Asunción (7): $\left(k_2\in k_0\right)$
9. Bicondicional introducción (5, 6, 7, 8): $\left(\left(k_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(k_2\in k_0\right)\right)$
10. Universal introducción (9): $\forall x_2\left(\left(x_2\in k_0\right)\leftrightarrow\left(x_2\in k_0\right)\right)$
11. Bicondicional eliminación (4, 10): $\left(k_0=k_0\right)$
12. Universal introducción (11): $\forall x\left(x=x\right)$

En una manera similar, también escribí la prueba de la simetría y la transitividad de la igualdad.

Answer 5

Por si sirve de algo (hace tiempo), los tratamientos que he visto toman las propiedades fundamentales de la igualdad (reflexividad, simetría y transitividad, además de los axiomas que afirman que no se puede distinguir entre objetos iguales) como axiomas, aunque no realmente como axiomas de la lógica. Más bien, hay teorías de primer orden, y entre ellas hay teorías de primer orden con igualdad, lo que significa que tienen una relación binaria "=" y axiomas asociados. Luego uno pasa una o dos páginas trabajando las consecuencias de esto, y más tarde, la teoría de conjuntos es sólo otro ejemplo de una teoría de primer orden con igualdad.

Sin embargo, me pregunto: Si dejas de lado la igualdad y el axioma de extensionalidad, tratando la igualdad sólo como una abreviatura como sugieres, ¿cómo demuestras que, si cada miembro de x es igual a un miembro de y y viceversa, entonces x \=_y_?