El complemento de un componente está conectado

Question

Dada: $X$ está conectada localmente, $C \subseteq X$ está cerrado y conectado, $U$ es un componente de $X \backslash C$ .

Quiero demostrar que $X \backslash U$ está conectado. Esto es lo que sé:

$C$ está cerrado $\implies X \backslash C$ está abierto $\implies U$ está abierto desde $X$ está localmente conectado $\implies X \backslash U$ está cerrado.

Si supongo que $X \backslash U$ está desconectado, entonces hay conjuntos cerrados disjuntos $V,W$ para que $X \backslash U \subseteq V \cup W$ .

Desde $U$ es sólo un componente de $X \backslash C$ tenemos $X \backslash C = U \cup \bigcup U_\alpha$ donde cada $U_\alpha$ es un componente de $X \backslash C$ . Entonces $X \backslash U = C \cup \bigcup U_\alpha$ .

Sólo me gustaría que me indicaran por dónde ir para llegar a una contradicción.

Answer 1

Esto es falso. Considere $$X=\{0\}\cup\{1\}\cup\{2\}\qquad C=\{0\}\qquad U=\{1\}\qquad X\setminus U=\{0\}\cup\{2\}$$ con la topología discreta.

A la vista del comentario de Stefan H., esto sigue siendo falso si $C$ no está abierto y $U$ no es un componente de $X$ . Toma $$ X=[0,2]\cup\{3\}\qquad C=[0,1]\qquad U=(1,2]\qquad X\setminus U=[0,1]\cup\{3\} $$ con la topología inducida por la topología estándar en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Sería correcto si $X$ estaban conectados. Así que supongamos $X$ está conectado.

Así que $C$ es cerrado y conectado, y $U$ es un componente de $X-C$ . Desde $X$ está conectada localmente, $U$ es abierto siendo un componente de un conjunto abierto en un espacio localmente conectado. $U$ también está cerrado en $X-C$ por lo que existe un conjunto cerrado $D$ tal que $D-C=U$ . Sin pérdida de generalidad podemos tomar $D=U\cup C$ . Si $X-U=A\sqcup B$ donde ambos $A$ y $B$ están cerrados, entonces $C\subseteq A$ desde $C$ está conectado. Por lo tanto, $A\cup D=A\cup U=X-B$ está cerrado. Así, $B$ está cerrado y abierto y debe estar vacío. Esto implica que $X-U$ está conectado.

Editar: He encontrado este puesto donde demuestran que se puede eliminar la condición de que $C$ está cerrado y $X$ está conectada localmente. Sólo necesita que $X$ y $C$ están conectados y $U$ es un componente de $X-C$ .