¿Por qué usar restricciones al comienzo en la expresión hamiltoniana?

Question

Por ejemplo, considere la siguiente situación:

Tengo un simple plano del péndulo compuesto de una masa de $m$ conectado a una cadena de longitud $\ell$. Después de que el péndulo se pone en movimiento, la longitud de la cadena se acorta a un ritmo constante

$$\tag{1}\frac{d\ell}{dt}=-\alpha=constant$$

como se muestra en la imagen de abajo

entonces, si quiero escribir el Hamiltoniano ¿por qué no puedo simplemente escribir su definición $${\cal H} = p_\theta \dot{\theta} + p_\ell \dot{\ell} - {\cal L}$$ y trabajar en ello y, al final, se aplican (1) a mis resultados?

Veo en cada ejemplo de hamiltonianos siempre las "limitaciones" se aplican directamente en el inicio del proceso (en la solución de este ejemplo en particular, después de aplicar (1) el hamiltoniano es ${\cal H} = p_\theta \dot{\theta} - {\cal L}$). Por qué sucede esto?

Answer 1

TL;DR: OP es correcto: Hay varias formas equivalentes para la construcción de una formulación Hamiltoniana, algunos se aplican las restricciones al principio, algunos en una etapa posterior.

A continuación vamos a ilustrar cómo funciona este sistema en OP ejemplo:

1. Vamos a empezar con un sistema de Lagrange $$ L_1~:=~L_0 + \lambda \chi_1, \qquad L_0~:=T-V, $$ $$ T ~:=~\frac{m}{2}(\dot{\ell}^2+\ell^2\dot{\theta}^2), \qquad V~:=~-mg\ell\cos\theta, \tag{A}$$ con multiplicador de Lagrange $\lambda$ y holonomic restricción $$ \chi_1~:=~\ell-\ell_0+\alpha t~\approx~0. \tag{B} $$ Tenga en cuenta que la restricción $\chi_1$ (y, por tanto, el Lagrangiano $L_1$) llevan tiempo explícito de la dependencia. El Lagrangiano de momenta leer $$ p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_1}{\parcial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_1}{\parcial \dot{\theta}} ~=~m\ell^2\dot{\theta}.\la etiqueta{C} $$ A continuación realiza la Dirac-Bergmann análisis. El desnudo de Hamilton lee $$ H_0~:=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2}. \tag{D}$$ Muy interesante, hay una restricción secundaria $$ 0~\approx~\frac{d\chi_1}{dt}~\approx~\{\chi_1, H_0\} + \frac{\partial\chi_1}{\partial t}~=~\frac{p_{\ell}}{m}+\alpha .\tag{E}$$ En el final de la correspondiente Hamilton se convierte en $$ H_1~=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \chi_1-\lambda^{\prime} \left( \frac{p_{\ell}}{m}+\alpha\right) \tag{F}.$$ Uno puede eliminar/integrar a cabo las limitaciones en la eq. (F).

2. Otra posibilidad es eliminar la restricción $\chi_1$ y el radial coordinar $\ell$ desde el principio: $$L_2~:=~\frac{m}{2}(\ell_0-\alpha t)^2 \dot{\theta}^2+mg(\ell_0-\alpha t)\cos\theta, \tag{G}$$ y, a continuación, realizar la transformación de Legendre.

3. Una tercera posibilidad es volver a escribir la holonomic restricción $\chi_1$ como semiholonomic restricción $$ \chi_3~:=~\dot{\ell}+\alpha~\approx~0. \tag{H} $$ Entonces el Lagrangiano de lee $$ L_3~:=~L_0 + \lambda \chi_3.\tag{I} $$ El Lagrangiano de momenta leer $$ p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}+\lambda, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\theta}}~=~m\ell^2\dot{\theta}. \tag{J} $$ En el final de la correspondiente Hamilton se convierte en $$ H_3~=~\frac{(p_{\ell}-\lambda)^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \alpha \tag{K}.$$

4. Curiosamente, el multiplicador de Lagrange $\lambda$ entra cuadráticamente en eq. (K). Puede ser integrado. El resultado de Hamilton se convierte en (después de descartar términos constantes) $$ H_4~=~ \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -p_{\ell} \alpha .\tag{L}$$

Todos los enfoques anteriores conducen al mismo núcleo del sistema de Misiones de observación electoral: $$ \dot{p}_{\theta}~\approx~-\frac{\partial V}{\partial \theta}, \qquad p_{\theta}~\approx~~m\ell^2\dot{\theta}, \qquad \dot{\ell}+\alpha~\approx~0.\tag{M}$$

Answer 2

Usted no puede simplemente escribir $${H} = p_\theta \dot{\theta} + p_l \dot{l} - { L},$$ debido a $l$ no corresponde a un grado de libertad del sistema, dado que esta variable no puede cambiar libremente. Usted no obtendrá $l(t)$ mediante la minimización de la acción, ya está fijada por la rheonomic restricción $dl/dt=-\alpha$. Poner en otra palabras, $l$ no es una coordenada del espacio de fase y no es $p_l$.

Lo que se supone que deben hacer es escribir el lagrangiano para el grado de libertad del sistema, $$L=\frac{m}{2}(l^2\dot\theta^2+\alpha^2),$$ y, a continuación, el Hamiltoniano, $$H=p_\theta\dot\theta-L.$$