¿Cómo se identifica el campo$K$ en la categoría de espacios vectoriales$K-\operatorname{Vect}$ sobre$K$? Los objetos obvios que hay que probar son los objetos iniciales y terminales, pero estos no son correctos, ya que ambos son cualquier espacio de dimensión cero.
El teorema de Hahn-Banach muestra que$K$ es inyectivo en la categoría de espacios vectoriales normados sobre el campo de los números reales o complejos. Pero, ¿es el único objeto inyectivo (hasta isomorfismo)?
Aquí es otra caracterización: es el "único" no-cero de objeto en el que se admite una monomorphism en cualquier no-cero de objeto.
También es el "único" no-cero objeto que es un cociente de cualquier no-cero de objeto.
En realidad, podemos caracterizar a cada vector de espacio, ya que podemos caracterizar a la dimensión de la función: es el único surjective función de $\dim : \{\text{vector spaces}\} \to \{\text{cardinals}\}$ tal que $\dim(0)=0$$\dim(\bigoplus_i V_i) = \sum_i \dim(V_i)$. Por ejemplo, esto significa que $K$ es la única no-cero indecomposable objeto.
Así, por ejemplo, $K$ (hasta el isomorfismo) el único objeto de $X$ en su categoría, tales que la monoid $\operatorname{End} X = \operatorname{Hom}(X,X)$ es trivial y conmutativa.
Si nos damos a nosotros mismos la estructura de un aditivo categoría, $K$ es el único (hasta el isomorfismo) objeto simple y también el único objeto de que el endomorfismo anillo de $\operatorname{End} X$ es trivial y no tiene divisores de cero. Alternativamente, es el único objeto de que el endomorfismo anillo es un anillo de división. Esta última descripción se pierde la conmutatividad en el párrafo anterior, pero tal vez es una característica, no un error: esta descripción también el trabajo si uno reemplaza el campo $K$ por cualquier división de anillo.
También:
El de Hahn-Banach teorema muestra que K es inyectiva en la categoría de normativa espacios vectoriales sobre el campo de los reales o los números complejos. Pero es el único (hasta el isomorfismo) inyectiva objeto?
Un cero objeto siempre es inyectiva. Finito directa sumas de inyectiva objetos son inyectiva. Así que no.
Añadido: Martin Brandeburgo señala correctamente que la noción de objeto simple que existe en cualquier categoría. Creo que es importante ver que $K$ es distinguido en $\operatorname{Vect}_K$ como completamente desnuda categoría, pensar en términos de la estructura aditiva también es natural. Como un aditivo de la categoría, $\operatorname{Vect}_K$ es semisimple (cada objeto es una suma directa de los objetos simples) y tiene un único (hasta iso...) objeto simple. La caracterización dada en Martin de Brandenburgo, la respuesta puede ser formulado sin el uso de la estructura aditiva...pero también son muy naturalmente visto como consecuencias de la oración anterior.
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