Grupo de unidades de End( $\mathbb{Z}/_2 \oplus \mathbb{Z}/_2) \cong S_3$ ?

Question

Consideremos el monoide End( $\mathbb{Z}/_2 \oplus \mathbb{Z}/_2$ ) de endomorfismos del grupo abeliano $\mathbb{Z}/_2 \oplus \mathbb{Z}/_2$ en la composición. Demuestre que el grupo de unidades de End( $\mathbb{Z}/_2 \oplus \mathbb{Z}/_2)$ es isomorfo al grupo simétrico $S_3$ .

Hasta ahora, lo he hecho:

El grupo de unidades de End( $\mathbb{Z}/_2 \oplus \mathbb{Z}/_2$ ) contiene todos los endomorfismos que son invertibles. Estos son los endomorfismos que no asignan componentes a 0; por lo tanto, hay 6 elementos en el grupo de unidades: \begin{align*} \rho_1: & (x,y) \mapsto (x,y) & \rho_2: & (x,y) \mapsto (y,x)\\ \rho_3: & (x,y) \mapsto (x, x+y) & \rho_4: & (x,y) \mapsto (x+y, x) \\ \rho_5: & (x,y) \mapsto (y, x+y) & \rho_6: & (x,y) \mapsto (x+y, y) \end{align*} Por otro lado, el grupo simétrico $S_3$ también tiene 6 elementos: \begin{align*} (1)(2)(3) & & (12)(3) & & (13)(2) & & (23)(1) & & (123) & & (321). \end{align*}

Para mostrar el isomorfismo, sólo necesito exhibir una biyección. ¿Qué tengo que hacer para definir una biyección entre estos dos grupos? Puedo mapear la identidad a la identidad, así que $\rho_1 \mapsto (1)(2)(3)$ Pero entonces, ¿puedo emparejar arbitrariamente el resto de los elementos?

Answer 1

Se podría enfocar al revés. Un endomorfismo es una unidad si y sólo si es biyectivo; además $0$ se asigna a $0$ .

Así que cada unidad en el endomorfismo dará ciertamente un mapa biyectivo desde los elementos no nulos de $Z/2 \oplus Z/2$ a sí mismo, por lo que una permutación de los elementos no nulos, y hay 3. A la inversa, esta permutación de cursos determina el endomorfismo de forma única.

Así, se obtiene directamente un mapa inyectivo de los endomorfismos de la unidad en $S_3$ . Como has escrito 6 elementos unitarios en End basta con demostrar que el mapa también es suryectivo (de hecho con encontrar más de 3 sería suficiente).

Answer 2

Una unidad en el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano es un automorfismo. Los automorfismos del grupo de Klein cuatro permutan los tres elementos no triviales, y están determinados por tales.