Definición de convexidad mediante medida de probabilidad.

Question

He encontrado esta definición alternativa de la convexidad en un conjunto de notas de la conferencia en la optimización convexa:

Un subconjunto $K \subset \mathbb R^n$ es convexa si y sólo si para cada probabilidad de medida $\mathbb P$ apoyado en $K$, $\mathbb E [x] \in K$.

Aquí, $x$ es la función de las coordenadas (es decir, la identidad).

Yo era incapaz de encontrar más información sobre esta definición. Me gustaría saber si es equivalente (también: cuando es equivalente? ¿Qué acerca de las infinitas dimensiones de los espacios de Banach?) y cómo equivalencia está probada.

Es claro que esta definición implica que la convexidad se define en la forma habitual.

Por el contrario, la he probado un poco de mí y se acercó con la siguiente prueba de depender de la martingala teorema de convergencia, pero sólo muestra que un compacto conjunto es convexo si y sólo cumple la condición anterior. También, estoy asumiendo que $\mathbb P$ es una medida de Borel.

Deje $$\mathcal F_n := \sigma \left( \lbrace K \cap ( m_1 2^{-n},(m_1+1) 2^{-k}] \times \dots \times (m_n 2^{-n}, (m_n+1) 2^{-n}] \vert m_1,\dots ,m_n\in\mathbb Z \rbrace \right)$$. A continuación, $\mathcal F_1 \subset \mathcal F_2 \subset \dots \subset \mathcal F_\infty \subset \mathcal B(K)$ es una filtración, w.r.t. que $$X_n := \mathbb E[x \vert \mathcal F_n]$$ is a martingale, which, due to boundedness of $K$, is uniformly bounded in the $L^2 (\mathbb P)$ norm. Hence, it converges almost surely and in $L^2$a $$X_n \to X_\infty = \mathbb E[x \vert \mathcal F_\infty ] = x$$ Por lo tanto, $\mathbb E[X_n]=\mathbb E[\mathbb E[x\vert \mathcal F_n]]\in K$ (debido a la convexidad de $K$) converge a $\mathbb E[x]$. Desde $K$ es cerrado, lo que implica que $\mathbb E[x] \in K$.

Estoy agradecido por todas las referencias.

Answer 1

Si $\ K\subsetneq \mathbb{R}^n\ $ es convexa (según la definición estándar), $\ \mathbb{P}\ $ probabilidad de medida apoyada en $\ K\ $, $\ \mathbb{e}=\mathbb{E}_\mathbb{P}\hspace{-0.2em}\left(x\right)\ $, $\ A=\mathrm{aff}\left(\mathrm{supp}\left(\mathbb{P}\right)\right)$, e $\ K'=A\cap K\ $, a continuación, $\ K'\subseteq K\ $ es convexa, y $\ \mathbb{P}\ $ es compatible en $\ K'\ $.

Si $\ K' = A\ $, entonces necesariamente $\ d=\mathrm{dim}\left(A\right)<n\ $. Deje $\ M\ $ ser $\ \left(n-d\right)\times n\ $ matriz, y $\ a\in\mathbb{R}^{n-d}\ $ tal que $\ A=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,\vert\,Mx=a\,\right\}\ $. A continuación, $\ a=\mathbb{E}_\mathbb{P}\hspace{-0.2em}\left(Mx\right)\ = M\mathbb{e} $, lo $\ \mathbb{e}\in A=K'\ $

De lo contrario, deje $\ \left\{\,x\in A\,\vert\, \langle\lambda,x\rangle\le\beta\,\right\}\ $ ser cualquier cerrada de la tangente de la mitad de espacio de a $\ K'\ $ en $\ A\ $, donde $\ \lambda\not\in A^\perp\ $. Desde $\ \left\{\,x\in A\,\vert\, \langle\lambda,x\rangle=\beta\,\right\}\ $ es una adecuada subespacio afín de $\ A\ $, a continuación, $\ \mathrm{supp}\left(\mathbb{P}\right)\ $ no puede mentir completamente dentro de ella, por lo $\ \mathbb{P}\left(\left\{\,x\in K'\,\vert\, \langle\lambda,x\rangle<\beta\,\right\}\right)>0\ $, e $\ \mathbb{E}_\mathbb{P}\hspace{-0.2em}\left(\langle\lambda, x\rangle\right)= \langle\lambda,\mathbb{e}\rangle<\beta\ $. Por lo tanto $\ \mathbb{e}\ $ se encuentra en cada abrir la tangente de la mitad de espacio de a $\ K'\ $ en $\ A\ $, y por lo tanto en su relativa interior, $\ \mathrm{ri}\left(K'\right)\subseteq K'\ $.