Demuestre que$U=\{x \in X\mid d(x,A)<d(x,B)\}$ está abierto cuando$A$ y$B$ están separados

Question

En un espacio métrico $(X,d)$, tengo el set $$U=\{x \in X\mid d(x,A)<d(x,B)\}$$ donde $A$ e $B$ son distintos subconjuntos. Necesito mostrar que $U$ está abierto en $(X,d)$. Traté de tomar el radio de una bola abierta de centro $x\in U$ a menos de $d(x,C)$ donde $C=\{x\in X\mid d(x,A)=d(x,C)\}$ , pero yo no podía llegar a ninguna parte. Es esta la estrategia de la derecha? Realmente agradecería ayuda, gracias!

Answer 1

$f(x)=d(x,B)-d(x,A)$ es continuo y $U=f^{-1}(x:x>0)$

Answer 2

Su estrategia no funcionará en un espacio métrico arbitrario. Considerar, por ejemplo, $ X = \mathbb R \setminus\{0\}$ con la habitual distancia y, a continuación, $A=\{-1\}$, $B=\{1\}$. Entonces su $C$ está vacía.

En su lugar, considere la posibilidad de algo parecido a la pelota alrededor de $x\in U$ radio $\frac12(d(x,B)-d(x,A))$.

(Tsemo de Aristide sugerencia es más pulido que el de este, si ya sabes que $d(x,A)$ es una función continua de $x$ y que preimages de abrir conjuntos de bajo funciones continuas) están abiertos.