Muestre que si todas las soluciones de$\frac{dy}{dx}=A(x)y$ son periódicas con el período$T$, entonces$\int_0^T \text{Trace }A(t) dt=0$

Question

Deje $A:\mathbb R \rightarrow L(\mathbb R ^n, \mathbb R^n)$ser continua y periódica, con período de $T$. Mostrar que si todas las soluciones de $\frac{dy}{dx}=A(x)y$ son periódicas con período de $T$, de $\int_0^T \text{Trace } (t) dt=0$

Intuitivamente puedo ver por qué esto es cierto, pero no estoy realmente seguro de si estoy en el camino correcto con la que muestra formalmente.

Si sabemos que todas las soluciones son periódicas, tenemos que para todos los $x$, $y(x)=y(x+T)$ e lo $$\frac{dy(x)}{dx}=\frac{dy(x+T)}{dx}$$ De esto se sigue que $$A(x)y(x)=A(x+T)y(x+T)$$ Así que también tenemos que $A(x)=A(x+T)$. Así que ahora sé que $\int_0^T \text{Trace } (t) dt=\int_0^T \text{Trace }A(t+T) dt$ and I want to show that this is $0$.

Realmente no sé a dónde ir desde aquí. Este capítulo nos hizo aprender cosas acerca de la matriz fundamental, por lo que creo que podría necesitar el uso de algo como $det \psi(x)= e ^{\text{trace } A(x) x}$, pero hasta ahora no sé cómo.

Answer 1

Deje $\psi(t) : \mathbb{R} \to L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ denotar la ordenó exponencial de $A(t)$, es decir, $\psi(t)$ es la única solución de

$$ \psi'(t) = A(t)\psi(t), \qquad \psi(0) = 1. $$

Entonces

\begin{align*} (\det\psi(t))' &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\det\psi(t+\Delta t) - \det\psi(t)}{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\det\left(1 + A(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^2)\right) - 1}{\Delta t} \det \psi(t) \\ &= \left( \operatorname{Tr}A(t) \right) \det\psi(t). \end{align*}

Por lo que se deduce que

$$ \det\psi(t) = \exp\left\{ \int_{0}^{t} \operatorname{Tr}A(s) \, \mathrm{d}s \right\}. $$

Desde $y(t) = \psi(t)y_0$ resuelve $y'(t) = A(t)y(t)$ cualquier $y_0 \in \mathbb{R}^n$, $y(t)$ es $T$-periódico para cualquier condición inicial $y_0$, y así, $\psi(t)$ sí es $T$-periódico. Luego de $\psi(T) = \psi(0)$, la conclusión deseada de la siguiente manera.