Cómo conseguir el producto en cohomology el uso de la K(G, n)?

Question

Esto surgió en la pregunta acerca de Eilenberg-MacLane espacios. Dada la definición de K(G, n), es fácil demostrar que no es un mapa K(G,n) x K(G,n) --> K(G,n) que dota cohomology con una estructura aditiva.

Pregunta: ¿qué es lo más geométrica manera de mostrar la existencia de mapas K(G,n) x K(G,m) --> K(G,n+m) que dotan de cohomology con estructura multiplicativa?

Answer 1

Hay un geométricas (nivel de espacio) forma de darse cuenta de que Eric respuesta. De hecho, este es el tema de la sección 1 en un documento por parte de Ravenel y Wilson (MathSciNet). Se utilizó el iterado simplcial construcción de la barra de B^nG como un modelo para K(G,n), de modo que, cuando G es un anillo, el anillo de la multiplicación

G\times G -> G

induce

G\times BG -> BG

mediante la fijación del primer factor y, a continuación,

BG\times BG -> B(BG)=K(G,2)

fijando el segundo factor, y así sucesivamente. Una descripción explícita se encuentra en la página 700 en su papel, en donde se demuestran los mapas resultantes dan lugar a la copa del producto de emparejamiento (Teorema 1.7).

Answer 2

Sí, esta iteración de la barra de la construcción del modelo debe ser mejor conocido, y puede ser expresada incluso más que la geometría de Ravenel y Wilson hacer.

Si $A$ es un grupo abelian, a continuación, $K(A,n)$ es modelada por un espacio en el que los puntos se dan por finito de colecciones de puntos en $[0,1]^n$ que son etiquetados por $A$. Si dos o más puntos coinciden, en que la recaudación es equivalente a uno en el que aquellos coincidiendo puntos se sustituye por un punto cuya etiqueta está dada por la suma de la coincidencia de las etiquetas. Si un punto está marcado por la identidad o si un punto está en la frontera de el cubo, puede ser eliminado. Este es un modelo para la libre abelian grupo en $S^n$, su punto de base como de identidad. La libre abelian grupo fue estudiado por primera vez por Dold y Thom hace cincuenta años, pero he oído acerca de esta manera de pensar al respecto de Juan Báez.

En este modelo, el primer producto que se hace referencia es la estructura del grupo que es "tomar de la unión". El segundo producto $K(R,n) \times K(R,m) \to K(R,n+m)$ es para "tomar los productos y multiplicar las etiquetas" (tenga en cuenta que $R$ ahora debe ser un anillo). Es decir, se obtiene un punto en $K(R, n+m)$ cuyo subyacente de la colección de puntos en $[0,1]^{n+m}$ es el producto de las colecciones, y en donde la etiqueta en algunos $x \times y$ es el producto de la etiqueta de $x$ con la etiqueta de $y$.

Answer 3

Un ejemplo muy concreto: para G=Z y n=m=1, es el mapa de S^1 \times S^1 \a CP^\infty que los mapas de S^1 \times S^1 a la 2-esqueleto S^2 de CP^\infty por un grado 1 mapa.

He aquí un general, pero menos de la forma geométrica de la comprensión. K(G,n) puede ser construida como la realización de la simplicial abelian grupo asociado a la cadena de complejos con Z de grado n y 0 en otro lugar bajo el Dold-Kan correspondencia. A través de un formulario de Eilenberg-Zilber, el levelwise producto tensor de dos simplicial abelian grupos es, hasta natural débil de equivalencia, el mismo que el ordinario producto tensor de la cadena de complejos. Pero el ordinario producto tensor toma K(G,n) y K(G,m) K(G \otimes G,m+n), y hay una natural mapa de K(G,n) \times K(G,m) a la levelwise producto tensor dado levelwise por el natural mapa de un producto para un producto tensor. Componer todo esto junto con un anillo de multiplicación mapa G \otimes G \G dando K(G \otimes G,m+n)\K(G,m+n) debe dar a la copa del producto. Con algunos de desentrañar que no tengo tiempo para hacer ahora mismo, pero puedo invitar a alguien más a la figura hacia fuera, usted debería ser capaz de convertir esto en un razonablemente explícita mapa en la simplicial abelian a nivel de grupo, procedente de la Alexander-Whitney mapa.

Answer 4

Si se forma el smash producto X = K(A,p) n K(B,q) de dos Eilenberg-MacLane espacios (estoy usando "n" para el éxito del producto símbolo aquí), entonces el espacio resultante es (p+q-1)-conectado, y el primer no-trivial homotopy grupo en la dimensión p+q es Un \otimes B.

Para ver esta "geométricamente", me gustaría modelo de la EM espacios como CW-complejos, cuyo primer no-punto de base células son de dimensiones p y q respectivamente. A continuación, en el smash producto X, la parte inferior dimensiones de las celdas son los productos de la parte inferior dimensiones de las células de la EM espacios; esto le da a la conectividad resultado, y mirando en la fijación de los mapas de la (p+q+1)-dimensional de las células en X, se puede calcular \pi_{p+q}. Ahora usted puede utilizar la obstrucción de la teoría para producir un mapa X --> K(A\otimes B, p+q).

Answer 5

Una perspectiva más me gusta es que la homología es abelianization. Concretamente, dado un espacio X se puede construir un nuevo espacio de AG(X), la (reducida) gratis abelian grupo X, cuyos puntos son finitos formal sumas

Σ nxx

de puntos de X con coeficientes enteros, sujeto a la relación que el punto de base es enviado a 0. (La topología de la toma algunos de describir, pero que es más o menos una topología cociente de dos copias de la infinita simétrica producto). En lugar de integer coeficientes podía tomar los coeficientes en algunos abelian grupo M, pero atengámonos a esto por ahora.

Para X un CW-complejo, el homotopy grupos de AG(X) son en realidad la reducción de la integral de la homología de grupos de X (este es el Dold-Thom teorema). Usted puede creer esto, porque se puede demostrar que el functor X -> π_*(AG(X)) es una homología de la teoría de la satisfacción de las Eilenberg-Steenrod axiomas, porque convierte el cociente de las secuencias X -> Y -> Y/X de espacios en los exactos secuencias de AG(X) -> AG(Y) -> AG(Y/X) topológico de los grupos, que son (casi) fibration secuencias.

Bajo esta perspectiva, en realidad tiene una construcción de K(Z,n); es AG(Sⁿ), la libre abelian grupo en la n-esfera. El mapa describe en respuestas anteriores de K(Z,n) ^ K(Z,m) K(Z,n+m), dándole a usted la copa de productos, es entonces el mapa

AG(Sn) ^ AG(Sm) -> AG(Sn ^ S,m) = AG(Sn+m)

dada por

(Σ nx x) ^ (Σ my y) -> Σ (nx my) (x ^ y)

que se ve exactamente como un producto tensor mapa.