Encuentra todos los ideales principales en$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donde$n>1$

Question

Quiero saber el primer ideales en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donde $n>1$.

Creo que tengo que usar el siguiente teorema (porque me han pedido para probarlo justo antes de este ejercicio, que no era demasiado complicado):

Vamos a R un anillo e I ⊂ R un ideal. Vamos φ : R → R/I ser el natural de los residuos de la clase homomorphism. Sea I ⊂ J ser otro ideal. Entonces J es un alojamiento ideal en R si y sólo si f(J) es un alojamiento ideal en R/I.

Y

Deje que R es el principal ideal de dominio y $I\subset R, I\neq(0)$ un ideal. A continuación, cada ideal generado por un elemento irreductible es un alojamiento ideal

Un elemento irreductible en $\mathbb{Z}$ son exactamente los números primos. También sé que $\mathbb{Z}$ es un director ideal de dominio.

He intentado suponiendo que $J=(p)$ es un ideal de a$\mathbb{Z}$, y cuando se $p$ prime, es un alojamiento ideal. Entonces si $J$ es un superconjunto de a$n\mathbb{Z}$, $\phi(J)$ es un primer ideal de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Es esto correcto? Por lo $p$ valores hace esto? Lo que si $J$ no es un superconjunto de a$n\mathbb{Z}$ como el teorema requiere?

Answer 1

Otro teorema dice que el primer ideales de $R/I$ corresponden bijectively para el primer ideales de $R$ contiene $I$.

En el caso de $\mathbf Z/n\mathbf Z$, esto significa que su primer ideales generados por la congruencia de las clases del primer divisores de $n$.

Si $J=(m)$ no contiene $n$, es decir, si $m$ no divide $m$, la imagen de $J$ en $\mathbf Z/n\mathbf Z$ es el ideal $$J\cdot \mathbf Z/n\mathbf Z=(m)\cdot \mathbf Z/n\mathbf Z=(m,n)/(n)=(\gcd(m,n))/(n).$$

Answer 2

Ideal $I$ en un anillo conmutativo $A$ es primo si y sólo si $A/I$ es una parte integral de dominio; $\mathbb Z/n \mathbb Z$ es un anillo finito, por lo que el cociente por un alojamiento ideal tiene que ser finita integral de dominio, que es un campo.

Ahora no es difícil ver que (desde los subgrupos de $\mathbb Z/n \mathbb Z$ son todos isomorfo a $\mathbb Z/ d \mathbb Z$ con $d|n$, y estos subgrupos son también ideales), esto es posible si y sólo si $(\mathbb Z/ n \mathbb Z)/ I \simeq \mathbb Z / p \mathbb Z $ con $p$ prime; se puede deducir fácilmente lo que son los ideales que usted está buscando.

Answer 3

Sugerencia : para resolver este ejercicio, basta con utilizar los siguientes datos:

• un ideal $I\unlhd R$ es primo si y solo si $R/I$ es un dominio,
• La característica de un dominio es prime.

Usando estos, es suficiente encontrar todos los cocientes de ${\mathbf Z}/n{\mathbf Z}$ de la característica principal. Debería ser sencillo comprobar que son, de hecho, dominios.