¿Cuál es la distancia media de un punto del hipercubo a su centro?

Question

¿Cómo calculo la distancia media de un punto dentro de un hipercubo al centro del hipercubo en función de la dimensionalidad del espacio?

Aquí considero el hipercubo definido como $C_n=\{x\in\mathbb{R}^n: -\frac{1}{2}\leq x_i\leq\frac{1}{2}, \forall_{i\leq n}\}$ con centro $(0, ..., 0)\in\mathbb{R}^n $

Puesto que para un punto aleatorio en $C_n$ tenemos que cada componente $X_i$ se distribuye uniformemente entre $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ . Y puesto que todos esos componentes son independientes, ¿se deduce que:

$$E\left[\sqrt{\sum_{i=1}^n X_i^2}\right] = \sqrt{E\left[\sum_{i=1}^n X_i^2\right]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n E\left[X_i^2\right]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{n}{12}}$$ ?

Editar: ¡Claro que mi cálculo es erróneo! ¡la raíz cuadrada del valor esperado no es el valor esperado de la raíz cuadrada!

Pero la pregunta sigue en pie: ¿Cuál es la expresión correcta?

Si no tenemos la forma cerrada, ¿podríamos intentar obtener el valor de forma recursiva?

como

$\begin{align} A(n) &= \int_0^{\frac{1}{2}}...\int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}dx_1...dx_n\\ &= \int_0^{\frac{1}{2}}...\int_0^{\frac{1}{2}}x_n\sqrt{\frac{x_1^2 + ... + x_{n-1}^2}{x_n^2}+1}dx_1...dx_n \\ &= \int_0^{\frac{1}{2}}x_n\left(\int_0^{\frac{1}{2}}...\int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{x_1^2 + ... + x_{n-1}^2}{x_n^2}+1}dx_1...dx_{n-1}\right)dx_n \\ &=? \int_0^{\frac{1}{2}}x_ng(A(n-1), x_n)dx_n \end{align}$

Answer 1

Para $n=2$ tenemos un cuadrado dado por $$C_2 = [-1/2, 1/2] \times [-1/2, 1/2]$$

Que la parte de $C_2$ en el primer cuadrante sea $$C_2' = [0,1/2]\times[0,1/2]$$

Por simetría, la distancia media desde un punto $P$ (elegidos uniformemente al azar en el interior de $C_2$ ) al origen, será igual a la distancia media de un punto $P'$ (elegidos uniformemente al azar en el interior de $C_2'$ ) al origen.

Podemos hallar esta distancia media integrando la fórmula de la distancia sobre el cuarto de cuadrado y dividiendo por el área de la región:

$$\displaystyle\frac{1}{\left(1/2\right)^2}\int_0^\frac{1}{2}\int_{0}^\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy = 4\int_0^\frac{1}{2}\int_{0}^\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$$

---

En general, en $\mathbb{R}^n$ podemos indexar los puntos como $(x_1, x_2,x_3, ... , x_n)$ . Tenemos $$C_n = \left[\,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\,\right]^n$$

$$C_n' = \left[\,0,\frac{1}{2}\,\right]^n$$

El volumen de la porción reducida del $n$ -hipercubo dimensional, $C_n'$ es $1/2^n$ . Por lo tanto, podemos calcular la distancia media como

$$\boxed{\mathbb{E}\,\left[\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2}\,\right]=2^n\underbrace{\int_{0}^\frac{1}{2}\int_{0}^\frac{1}{2}\int_{0}^\frac{1}{2}\cdots \int_{0}^\frac{1}{2}}_{n\text{ integrals}}\left(\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2}\,\right)dx_1\,dx_2\,dx_3\,\cdots\,dx_n\,\,}$$

---

En el cálculo de la integral anterior, es útil el siguiente hecho:

Si $A \in \mathbb{R}$ es una constante no negativa, entonces para cualquier constante $B \in \mathbb{R}$ tenemos la antiderivada $$\int\sqrt{x^2+A} \,\,dx = \frac{A\ln\left|x+\sqrt{x^2+A}\right| + x\sqrt{x^2+A}}{2} + B$$

Este hecho hace posible el cómputo, aunque extremadamente desordenado.