¿Esta propiedad de los ideales de comaximal siempre se mantiene?

Question

Estoy leyendo un artículo en el que el resultado siguiente se utiliza, pero no puedo ver la prueba de ello.

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con sólo dos máximos ideales, decir $M_1$ e $M_2$. Supongamos $m_1 \in M_1$ es tal que $m_1 \notin M_2$. A continuación, podemos encontrar siempre $m_2 \in M_2$ tal que $m_1+m_2=1$?

Alguna idea?

Answer 1

Tome $R=\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$, $M_1=\mathbb{Q}\times\{0\}$, $M_2=\{0\}\times\mathbb{Q}$, e $m_1=(2,0)\in M_1\setminus M_2$. A continuación, $(1,1)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ cumple que $$(1,1)-(2,0)=(-1,1)\notin M_2$$

Por lo tanto, que la propiedad no está satisfecho en general.

Tal vez la propiedad de que realmente están utilizando es que no existe $a\in M_1$ e $b\in M_2$ tal que $a+b=1$. No arbitraria $a,b$. Esta otra propiedad es inmediata mediante el uso de la maximality de $M_1$ e $M_2$, lo que implica que $M_1+M_2=R$.

Answer 2

Primer aviso de que $1-m_1$ no puede ser una unidad, ya que esto implicaría $m_1$ es en el Jacobson radical de $R$, y, en particular, tendríamos $m_1\in M_2$.

Ahora lo que sigue es que el ideal de la $R$ generado por $1-m_1$ debe estar contenido en un ideal maximal, pero no puede ser contenido en $M_1$ porque entonces se seguiría que $1\in M_1$. Así, este ideal está contenida en $M_2$ (la única otra máxima ideal), es decir, consigue $1-m_1\in M_2$.

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Edit: creo que mi razonamiento para $1-m_1$ no ser una unidad que está mal (parece que tendría que $1-m_1x$ es una unidad para cada $x\in R$ a la conclusión de $m_1$ es en el Jacobson radical). El resto del argumento se pasa a través, así que voy a dejar mi respuesta hasta por un tiempo con la esperanza de que alguien pueda ayudar a entender esa parte.