Ejemplo de martingala no negativa que satisface ciertas condiciones

Question

Pregunta

La cuestión es encontrar un ejemplo de un no-negativo martingala $(X_n)$ con $EX_n=1$ para todos los $n$ tal que $X_n$ converge casi seguramente a una variable aleatoria $X$ donde $EX\neq 1$ e $\text{Var}(X)>0$.

Mi intento

Un ejemplo de una martingala que pensé que podría encajar el proyecto de ley fue producto de martingala con $X_n=\prod_{i=1}^n Y_i$ donde $(Y_{i})$ son yo.yo.d no negativo variables aleatorias con una media de $1$ e $P(Y_i=1)<1$. Desafortunadamente $X_n\to 0$ a.s y, por tanto, el límite es de degenerados. Otros ejemplos, he probado a cocinar (por ejemplo, proceso de ramificación con un individuo) todos habían degenerado límites.

Estoy teniendo problemas para subir con un ejemplo que no tiene un degenerado límite.

Answer 1

Modifique un poco su ejemplo, permitiendo que $Y_0$ sea cualquier variable aleatoria no negativa independiente de $\{Y_n\}_{n\ge 1}$ con $E(Y_0)=1$ , $$ M_0 = \ frac12Y_0 + \ frac 12, \ \ M_n = \ frac12 \ left (Y_0 + \ prod_ {i = 1} ^ nY_i \ right), \ \ n \ ge 1$$ is a martingale converging to $ \ frac 12 Y_0 $ .

Answer 2

Sugerencia

Combinaciones convexas de martingales son martingala. Su ejemplo converge a $0$. modificar si para obtener un ejemplo de la convergencia a algo más, la mezcla de los dos.

Respuesta

Deje $X_n$ ser la martingala que se describe; $X_n=\prod_{i=1}^n Y_i$, donde $Y_i\stackrel{\text{iid}}\sim \operatorname{Unif}\{1/2,3/2\}$.

Deje $(X_n')_{n\ge 1}$ ser una copia independiente de $(X_n)_{n\ge 1}$.

Por último, vamos a $\xi$ ser Bernoulli$(1/3)$, independiente de las anteriores variables. Entonces $$ X_n\cdot{\bf 1} ({\xi=1})+(2-X_n')\cdot {\bf 1}(\xi=0) $$ es una martingala cuya expectativa es siempre uno, y en el límite es igual a $0$ con una probabilidad de $1/3$ y es igual a $2$ con una probabilidad de $2/3$.