Hausdorff métrica y conectividad

Question

Deje $(X, d)$ ser espacio métrico. Definir $B_\epsilon = \{ x \in X : \exists b \in B \; d(x, b) \le \epsilon\} $. Deje $F(X)$ ser una familia de todas compacto no vacío subconjuntos de a$X$ (por lo $\emptyset \notin F(X)$ ). Vamos a definir la métrica de Hausdorff por: \begin{equation} D(A, B) = \inf \{ \epsilon \in \mathbb{R}^+ : A \subset B_\epsilon \; \land B \subset A_\epsilon \}. \end{equation} A continuación, $(F(X), D)$ es un espacio métrico.

Lo que me gustaría saber es cuál es la relación entre la conectividad de $(X, d)$ y la conectividad $(F(X), D)$.

Hasta el momento no fue capaz de demostrar que si $(X, d)$ no está conectado, a continuación, $(F(X), D)$ también no está conectado. Aquí la idea principal era que si (a, B) es un par de subconjuntos no vacíos de a$X$ tal que $A\cup B = X$ e $A \cap B = \emptyset$ e $A, B$ están abiertas, a continuación, $(2^A \cap F(X), F(X) \setminus 2^A \cap F(X))$ es un par de vacío, abrir los subconjuntos de a$F(X)$ que se suma a $F(X)$ y tienen intersección vacía. (Que, por contraposición, significa que la conexión de $(F(X), D)$ implica la conexión de $(X, d)$).

Es el opuesto a la implicación verdadera, es decir, la conexión de $(X, d)$ implica la conexión de $(F(X), D)$?

Answer 1

$F(X)$ está conectado al $X$ es.

Supongamos $F(X)$ se desconecta por abrir subconjuntos $U,V$. Es decir, que son distintos de las colecciones de subconjuntos compactos de $X$ cuya unión es $F(X)$. Deje $A:=\{x\in X:\{x\}\in U\}$, y del mismo modo para $B$.

Deje $a\in A$, $b\in B$ ser cualquiera de los dos puntos. A continuación, el conjunto compacto $\{a,b\}$ es $U$ o $V$. A continuación, $D(\{a,b\},\{b\})>\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$, desde el $U$ e $V$ están abiertos conjuntos. Esto significa que $d(a,b)>\epsilon$. Por lo tanto $B(\epsilon,a)\subseteq A$, e $A$ está abierto. Asimismo, para $B$, lo $X$ está desconectado.