¿Cuál es la raíz cuadrada de la función delta de Dirac?

Question

¿Cuál es la raíz cuadrada de la Función Delta de Dirac? ¿Está definida para integrales funcionales? ¿Se puede utilizar para describir funciones de onda cuánticas?

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sqrt{\delta(x-a)}dx \end{align}

Answer 1

Puede pensarse en la distribución de Dirac como un elemento en alguna álgebra de Banach valorada en operadores. Uno puede entonces usar el cálculo de Riesz (http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_functional_calculus) para definir una función holomorfa arbitraria de esta delta de Dirac (o distribuciones más generales).

En particular (como la Fórmula Integral de Cauchy), tenemos, para un álgebra de Banach $\mathscr{A}$ y una función holomorfa $f$, para $a \in \mathscr{A}$:

$f(a) = \frac {1} {2 \pi i} \oint \frac {f(z)} {z - a} d z$ ;

Esto en principio puede ser evaluado. Por ejemplo, puedes representar la delta de Dirac como una matriz (si estás pensando en dimensiones finitas). La integración es entonces bastante directa (para la raíz cuadrada, podrías establecer $f(z) = z^{1/2} = e^{\frac {1} {2} \log(z)}$). Deberás tener cuidado con los cortes de rama para este caso particular.

En cuanto a las funciones de onda cuánticas, no podría decirlo. Sin embargo, esta herramienta es muy útil para definir operadores de Dirac. Por ejemplo, podrías considerar que el álgebra $\mathscr{A}$ consiste en operadores diferenciales de alguna dimensión. Tomando el operador de Klein-Gordon $\nabla^2 + m^2$ se puede intentar definir raíces cuadradas de este operador evaluando la integral anteriormente mencionada.

Answer 2

El espacio de funciones localmente integrables es denso en el espacio de distribuciones en la topología en la que una secuencia de funciones $(f_n)$ converge a una distribución $T$ si las integrales $\int f_n\phi dx$ convergen a $T(\phi)$ para todas las funciones de prueba $\phi$, típicamente las funciones suaves con soporte compacto. En este sentido, la distribución de Dirac se define por $\delta(\phi) = \phi(0)$, a menudo escrita como $\int f(x)\delta(x) dx = f(0).

Esto significa que para evaluar una distribución, podríamos tomar una secuencia de funciones ordinarias que convergen a ella y calcular el límite. En nuestro caso podríamos tomar una secuencia de funciones positivas que convergen a la delta de Dirac, tomar sus raíces cuadradas y evaluar los límites. Me parece que esto es idénticamente 0, no muy útil.

Eso no significa que en otros espacios de funciones generalizadas esto no pueda tener un significado más útil, ver por ejemplo este artículo (pdf) (que no leí), con el título "Funciones Generalizadas para Aplicaciones" y resumen:

Se presenta un enfoque riguroso y simple de funciones generalizadas, apto para aplicaciones. Aquí, una función generalizada se define como una función genuina en un superconjunto de la recta real, de forma que la multiplicación es ilimitada y asociativa, y varias manipulaciones mantienen sus significados clásicos. El superconjunto se construye de forma sencilla y no requiere la recta real no estándar de Robinson. Las funciones generalizadas van más allá de las distribuciones de Schwartz, permitiendo discutir productos y raíces cuadradas de funciones delta.

Answer 3

No creo que la raíz cuadrada del delta de Dirac esté bien definida. Si tienes alguna distribución $g$ tal que $g^2 = \delta$, eso requiere que el conjunto de frentes de onda de $\delta$ sea un subconjunto del frente de onda de $g$, lo que significa que la raíz cuadrada tiene al menos el mismo conjunto de frentes de onda que la distribución de Dirac, lo que impediría que fuera una distribución bien definida.

Answer 4

Voy a intentar responder a la pregunta de cuál es la raíz cuadrada de una función delta _diciéndote lo que puede hacer en el mundo real._

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He utilizado la idea de $\sqrt \delta $ para definir distribuciones de potencia de funciones de energía infinita (la integral del cuadrado sobre todos los reales), pero de potencia finita (energía por unidad de tiempo). Estoy seguro de que otros también lo han hecho, pero no he podido encontrar ejemplos hasta ahora. Un ejemplo de tal función es $\sin \omega t$. Su transformada de Fourier son dos deltas agudos. El espectro de energía es indefinido, ya que requiere cuadrar la transformada de Fourier. Pero es realmente obvio cómo debería verse el espectro de potencia—dos deltas en $\pm \omega$. Después de mucho cálculo y trasteo con límites, siempre termino con esta respuesta:

$\rho(\omega) = \frac 1 \tau |\sqrt \delta * F|^2,$

donde $F$ es la transformada de Fourier de la función cuyo espectro de potencia estoy intentando encontrar y $\tau$ es la constante de círculo moralmente superior. Así que en este uso, $\sqrt \delta$ utilizado como un núcleo de convolución en un espectro de energía lo convierte en un espectro de potencia. Pruébalo en $\sin \omega t$ y terminarás con picos dobles de delta y la cantidad correcta de potencia total. Pruébalo en ruido blanco gaussiano y obtendrás una densidad de potencia plana (pero localmente finita) hasta el infinito. También funciona en un tren de pulsos y en señales periódicas arbitrarias.

También he utilizado mucho menos fructíferamente la raíz cuadrada de la función delta de Dirac para definir una función integrable al cuadrado concentrada en un punto. Tal función podría usarse para describir el estado de una partícula cuántica ubicada en un punto, a pesar de que no es estrictamente posible localizar una partícula cuántica de esta manera.

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Answer 5

La forma en que definiría $\delta^{-n}$ es elevándola a la potencia n. $$ \int f(x) \left( \delta^{-n}(x) \right)^n \mathrm{d} x = f(0) $$

De esta manera, puedes considerar la función de onda de una partícula como $ \psi(x) = \sqrt{\delta(x)} $ tal que $$ \int \psi(x)^* \psi(x) \mathrm{d} x =1. $$ Sin embargo, el estado que esto representa tiene una energía cinética "infinita", por lo que no puede representar una partícula físicamente realizable. La integral $ \int \psi(x)^* H \psi(x) \mathrm{d} x $ no es convergente.