Cómo evaluar $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx $$ donde $a\in[0,1]$ ?
Creo que de este problema como una generalización de la siguiente proposición $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left(\sin x\right)\,dx =-\frac12\pi\log2 $$
Mi pruebe
Poner $$ I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx $$ A partir de la sustitución de $x \to \frac{\pi}{2}-x$ , obtenemos $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \cos^2 x - a \right|\,dx $$ Así $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - (1-a) \right|\,dx $$ lo que significa que $$I(a)=I(1-a) \tag{1}$$
Por otro lado, \begin{align} 2I(a) &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| (\sin^2 x - a)(\cos^2 x -a) \right|\,dx \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| a^2-a+\sin^2 x \cos^2 x \right|\,dx \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 (2x) \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 1+4(a^2-a)-\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= I((2a-1)^2) -\pi \log 2 \end{align} Así $$ 2I(a)=I((2a-1)^2)-\pi \log 2 \etiqueta{2} $$
Deje $a=0$ obtenemos la proposición mencionadas $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left(\sin x\right)\,dx =-\frac12\pi\log2.$
Pero, ¿cómo seguir ? Podemos resolver el problema sólo por $(1)$ e $(2)$? O ¿qué otras propiedades debemos utilizar para evaluar eso?
Mirando hacia adelante a sus nuevas soluciones.
Gracias de antemano!
Añadió:
Como se señaló en los comentarios, parece que la integral es idéntica a $-\pi\log 2$.
De $(1)$ e $(2)$ podemos encontrar también muchos números de tal manera que $I(a)=-\pi\log 2$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El uso de las simetrías y el desarrollo de la $\sin^2$ plazo, podemos expresar \begin{align} I&=\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \frac{1-2a}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\right|\,dx %&=-\frac{\pi}{2}\ln 2+\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \left( 2a-1 \right)+\cos 2x\right|\,dx \end{align} Denotando $2a-1=\cos 2\alpha$, \begin{align} I&=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \frac{1}{2}\left( \cos 2\alpha+\cos 2x\right)\right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x+\alpha \right)\cos \left( x-\alpha \right)\right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x+\alpha \right)\right|\,dx+\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x-\alpha \right)\right|\,dx \end{align} Como las funciones son periódicas, la integración de las variables puede ser cambiado, por lo tanto \begin{equation} I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x \right)\right|\,dx \end{equation} Finalmente, el uso de las simetrías de el integrando, \begin{align} I&=2\int_0^{\pi/2} \log \left| \cos \left( x \right)\right|\,dx\\ &=2\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin \left( x \right)\right|\,dx\\ &=-\pi\ln 2 \end{align} desde el citado resultado.
