Evaluando$\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|$ donde$a\in [0,1]$.

Question

Cómo evaluar $$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx$$ donde $a\in[0,1]$ ?

Creo que de este problema como una generalización de la siguiente proposición $$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left(\sin x\right)\,dx =-\frac12\pi\log2$$

Mi pruebe

Poner $$I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx$$ A partir de la sustitución de $x \to \frac{\pi}{2}-x$ , obtenemos $$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \cos^2 x - a \right|\,dx$$ Así $$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - (1-a) \right|\,dx$$ lo que significa que $$I(a)=I(1-a) \tag{1}$$

Por otro lado, $$\begin{align} 2I(a) &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| (\sin^2 x - a)(\cos^2 x -a) \right|\,dx \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| a^2-a+\sin^2 x \cos^2 x \right|\,dx \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 (2x) \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 4(a^2-a)+\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= \displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left| 1+4(a^2-a)-\sin^2 x \right|\,dx -\pi \log 2 \\ &= I((2a-1)^2) -\pi \log 2 \end{align}$$ Así $$2I(a)=I((2a-1)^2)-\pi \log 2 \etiqueta{2}$$

Deje $a=0$ obtenemos la proposición mencionadas $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \log \left(\sin x\right)\,dx =-\frac12\pi\log2.$

Pero, ¿cómo seguir ? Podemos resolver el problema sólo por $(1)$ e $(2)$? O ¿qué otras propiedades debemos utilizar para evaluar eso?

Mirando hacia adelante a sus nuevas soluciones.

Gracias de antemano!

Añadió:

Como se señaló en los comentarios, parece que la integral es idéntica a $-\pi\log 2$.

De $(1)$ e $(2)$ podemos encontrar también muchos números de tal manera que $I(a)=-\pi\log 2$.

Answer 1

El uso de las simetrías y el desarrollo de la $\sin^2$ plazo, podemos expresar $$\begin{align} I&=\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \sin^2 x - a \right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \frac{1-2a}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\right|\,dx %&=-\frac{\pi}{2}\ln 2+\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \left( 2a-1 \right)+\cos 2x\right|\,dx \end{align}$$ Denotando $2a-1=\cos 2\alpha$, $$\begin{align} I&=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \frac{1}{2}\left( \cos 2\alpha+\cos 2x\right)\right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x+\alpha \right)\cos \left( x-\alpha \right)\right|\,dx\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x+\alpha \right)\right|\,dx+\frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x-\alpha \right)\right|\,dx \end{align}$$ Como las funciones son periódicas, la integración de las variables puede ser cambiado, por lo tanto $$\begin{equation} I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \log \left| \cos \left( x \right)\right|\,dx \end{equation}$$ Finalmente, el uso de las simetrías de el integrando, $$\begin{align} I&=2\int_0^{\pi/2} \log \left| \cos \left( x \right)\right|\,dx\\ &=2\int_0^{\pi/2} \log \left| \sin \left( x \right)\right|\,dx\\ &=-\pi\ln 2 \end{align}$$ desde el citado resultado.