¿Es$e^{\int \frac {1}{x}dx}$ igual a$x$ o$|x|$?

Question

Encontré esta expresión muchas veces como parte del factor integrador al resolver ecuaciones diferenciales lineales.

$$e^{\int \frac {1}{x}dx}$$

For sometime, I wrote it as $ x$, and was satisfied as even the answer given in my textbook had $ x$ instead of $ | x |% #% |% | x $. But after realising the possibility to be $\ int \ frac {1} {X} dx = log | x |$, I am confused.

What should be the answer, and why?

Edit: (My reasoning)

$ e ^ {logt} = t$ and $ t = | x |$ if I'm not wrong. So in this case, $ | x |% #% x$ so the answer should be $ x $

Answer 1

Respuesta Simple

La expresión correcta es $|x|$. La antiderivada de $\frac1x$ es $\log |x|$, lo cual puede ser verificado mediante el cálculo de la derivada de $\log |x|$ en la región de $x>0$ e $x<0$ por separado.

Respuesta correcta

Tampoco es correcto; la respuesta correcta es $C|x|$, para algunas de las $C>0$, debido a que usted necesita para recordar la constante! $$ e^{\int \frac1x\,dx}=e^{\log|x|+K}=e^K|x|:= C|x|. $$

Super nitpicky respuesta correcta

En realidad, la integración de $\frac1x$ requiere dos constantes; uno en la $x>0$ región, uno en la $x<0$ región. Se puede comprobar que para cualquier $K_1,K_2$, la siguiente función definida a tramos es una antiderivada de $1/x$: $$ f(x)=\begin{cases} \log|x|+K_1 & x>0\\ \log|x|+K_2 & x<0 \end{casos} $$ Esta es la respuesta completa, porque cada antiderivada tiene esta forma. Por lo tanto, $$ e^{\int\frac1x\,dx}=\begin{cases} C_1|x| & x>0\\ C_2|x| & x<0 \end{casos} $$ donde $C_1,C_2>0$.

Answer 2

La antiderivada general es como se describe en la respuesta de Mike Serio.

Pero en el contexto de las Odas, donde vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor de integración, sólo se puede multiplicar por $x$ en lugar de $|x|$, ya que si $x<0$ la única cosa que sería diferente es un factor de $-1$ uno de ambos lados, que no hace ninguna diferencia tan lejos como la educación a distancia es concernced. (Y por la misma razón, no se obtiene ninguna generalidad multiplicando por la antiderivada más general $C_{1,2}|x|$.)