Por qué indexamos los elementos así
pero no terminar los elementos 1/x y luego pasar por 2/x y luego 3/x...
Esto lo aclara todo. Gracias por esta respuesta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Cualquiera que sea el método que elijas para indexar los racionales, tiene que satisfacer la siguiente propiedad básica: para cada número racional $x/y,$ debe haber algún número entero positivo $n$ tal que $x/y$ está indexado por $n$ (un poco formalmente: debe existir $n\in\mathbb{N}$ tal que $n\mapsto x/y$ ).
Intentemos lo que está describiendo. Dices que deberíamos empezar con $1/1,$ y luego ir a $1/2,$ entonces $1/3,$ y así sucesivamente; "y luego" pasar a $2/1,$ $2/2,$ etc.
Este es mi problema con eso. El procedimiento de indexación que describes toma cada entero positivo $n$ y lo asigna a $1/n$ : $1$ mapas a $1/1,$ $2$ mapas a $1/2,$ y así sucesivamente. Así que, esta es mi pregunta para usted: bajo su procedimiento, ¿qué número positivo $n$ índices $2/1$ ?
Tenga en cuenta, como dije en el primer párrafo, que para que su procedimiento sea un procedimiento adecuado, debe haber algún valor de $n$ para que $2/1$ está indexado por $n.$ Usted afirma que su procedimiento es un procedimiento de indexación adecuado; ahora tiene que decirme cuál es el valor de $n$ es.
Estoy seguro de que si meditas sobre esto verás cuál es el problema. No hay tal valor de $n,$ por lo que lo que intentas hacer simplemente no funcionará; tu procedimiento no pasa por todos los racionales, sólo pasa por la primera fila de la tabla. Esto es lo que la gente quiere decir en los comentarios cuando dicen que se "agotan" los enteros.
Yves Daoust
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Si tratas de "terminar" el $1/x$ elementos, entonces ya habrías utilizado toda tu lista, sin posibilidad de enumerar fracciones como $2/3$ , $2/5$ etc. Tienes que tomar un poco a la vez de cada columna.
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Esto no es realmente una respuesta a tu pregunta, así que lo dejo como un comentario, pero creo que sigue siendo útil señalarlo: la verdadera "explicación" de por qué no estamos haciendo eso es simplemente porque 1) no tenemos que hacerlo (!), podemos elegir cualquier forma que nos guste de pasar por los racionales, y 2) la forma que elegimos aquí hace el trabajo que queremos que haga.
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No se puede "terminar" el $\frac{1}{x}$ - elementos, ya que hay infinitos
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Tal vez quieras usar el hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable, pero tendrías que usar un argumento diagonal (o más bien este método de barrido) para demostrarlo.
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Piensa en los números racionales como huéspedes en el Hotel de Hilbert. Si pones $\frac 1 1$ en la habitación $1$ , $\frac 1 2$ en la habitación $2$ y así sucesivamente, poniendo $\frac 1 n$ en la habitación $n$ Entonces, ¿qué número de habitación se pone? $\frac 2 1$ en ?
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Porque el $2/x$ los elementos no pueden ser contados en un tiempo finito por su método. Si contaras cada elemento de la lista cada segundo, está claro que nunca llegas a 2. Contable significa que si seleccionara un elemento del conjunto, podría contar hasta él en tiempo finito.
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Porque hay un número infinito de $\frac 1n$ y no podemos "terminar" un número infinito de cosas y "luego" hacer otra cosa.
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" Contable significa que si yo seleccionara un elemento del conjunto, podría contar hasta él en un tiempo finito. "ESO ES TOTALMENTE ERRÓNEO. Contable puede ser infinito. Pero significa que puede ser ordenado en lista numerada.
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@fleablood eso es lo mismo. Si un conjunto está ordenado en una lista numerada ( supongo que te refieres a numerar usando los números naturales ), y yo seleccionara un elemento, ese elemento tendría algún número natural $n$ asociada a ella, y podría contar con ella en un tiempo finito.
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Pero no se pueden contar todos los elementos. Se refería a que podías contar hasta ese elemento. Pero eso es cierto para cualquier conjunto contable o no. Escoge cualquier número real y no puedes llegar a él en tres segundos si lo eliges como tercer elemento. Así que decir que se puede contar hasta él en un tiempo finito parece una definición extraña y sin sentido.
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@fleablood Puede ser raro, pero no es inútil. En tu ejemplo de los reales, ordenaste los números DESPUÉS de elegir hasta cuál contar. Una definición perfectamente correcta de contable es que puedes ("bien") ordenar el conjunto, y entonces para cualquier elemento, puedes contar hasta él en tiempo finito empezando por el menor elemento de ese orden.