Los conjuntos analíticos son medibles en Lebesgue.

Question

La analítica de subconjuntos de a$\mathbb{R}$ son proyecciones de los conjuntos de Borel en $\mathbb{R}^2$. Estoy tratando de entender una prueba de que estos conjuntos son siempre Lebesgue medibles.

Uno puede probar, primero, que la analítica de los conjuntos de $(\Sigma_1^1)$ son iguales a $\mathcal{A}(\Pi_1^0)$ donde $\mathcal{A}$ denota la Souslin operación, y $\Pi^0_1$ es el pointclass de conjuntos cerrados. A continuación, una muestra que Lebesgue medibles conjuntos son cerrados bajo la Souslin operación. No se, a continuación, siga por monotinicity que $\Sigma^1_1 = \mathcal{A}(\Pi_1^0) \subset \mathcal{A}(\{measurable\}) = \{measurable\}$?

¿Por qué algunos autores mencionan el paso adicional de que, a la luz de la idempotence de la Souslin operación, $\mathcal{A}(\Sigma_1^1)=\Sigma_1^1$ ?

Véase, por ejemplo, corolario $13.5$ aquí, o la mención de $4.1.14$ en el Teorema $4.3.1$ de Srivastava. "Un Curso en Conjuntos de Borel".

Answer 1

Permítanme resumir los comentarios para dar una respuesta:

A pesar de cómo las pruebas en las referencias están enmarcadas, usted sólo tiene que hacer dos argumentos. Primero se demuestra que cualquier subconjunto de Borel $\mathbb{R}^2$ es la imagen continua de la 'universal' polaco espacio de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$. A continuación, se deduce que $\Sigma_1^1=\mathcal{A}(\Pi_1^0)$. En segundo lugar, el uso de la integridad de la propiedad de Lebesgue medibles conjuntos para demostrar que son cerrados bajo la Souslin operación. El resultado debe seguir.

El idempotence de la Souslin operación, si bien es interesante por derecho propio, no es necesario aquí. Para cualquiera que esté interesado, puede probarse mediante la construcción de algunos astutos bijections $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\times (\mathbb{N}^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}}\to {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}, \ \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N} $ e $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}} \to \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$.