Robin BC en la ecuación de onda 1D

Question

El problema de interés es la siguiente:

• la cantidad de interés: $u(x,t)$
• la ecuación de onda: $\partial_2^2u(x,t)-c^2\partial_1^2u(x,t)=0$ donde $c>0$
• un Robin condición de frontera en $x=0$: $\partial_1u(0,t)=\alpha u(0,t)$ donde $\alpha>0$
• desde el Robin condición se considera como una condición de frontera, el dominio de interés es $(x,t)\in [0,\infty[\times \mathbb{R}$.

Algunos desarrollos están disponibles, consulte la sección 2.2.3 de 1. Aún así, me parece que la forma en que el Robin de la condición de límite debe ser abordado no es clara. Así que, vamos a ver qué se puede hacer. De d'Alembert para la solución de 2, sabemos que: $$u(x,t)=f(x+ct)+g(ct-x)$$ donde $f$ es el retroceso de la onda y $g$ es el avance de la onda. Insertar el Robin BC en la solución anterior, se obtiene: $$f'(\xi)-g'(\xi)=\alpha (f(\xi)+g(\xi))$$ que puede ser leído como una ODA en $g$ por ejemplo [Nota de que el uso de $g(x-ct)$ como en 2 en lugar de $g(ct-x)$ genera dificultades para Robin BC]. Esto permite expresar $g$ en términos de $f$. Expresan $f$ en términos de $g$ también es posible. La solución es:

• solución homogénea: $g_\text{h}(\xi)=A\mathrm{e}^{-\alpha\xi}$
• solución particular: $g_\text{p}(\xi)=f(\xi)-\mathrm{e}^{-\alpha\xi}\bigl(f(0)+2\alpha\int_0^{\xi} \mathrm{e}^{\alpha s}f(s)\mathrm{d}s\bigr)$

En la solución homogénea, $A=g(0)$ ha sido elegido. Sin embargo, cualquier otro valor de $g$ es elegible. La solución final es así $$g(\xi)=f(\xi)+\mathrm{e}^{-\alpha\xi}\Bigl(g(0)-f(0)-2\alpha\int_0^{\xi} \mathrm{e}^{\alpha s}f(s)\mathrm{d}s\Bigr)\qquad (1)$$ lo que conduce a: $$\color{green}{u(x,t)}=\color{blue}{f(ct+x)}+\color{red}{f(ct-x)+\mathrm{e}^{-\alpha(ct-x)}\Bigl(g(0)-f(0)-2\alpha\int_0^{ct-x} \mathrm{e}^{\alpha s}f(s)\mathrm{d}s\Bigr)}\qquad (2)$$

La solución anterior es animado a continuación con la suposición de que $g(0)=f(0)=0$. Lo que es de interés para nosotros es la solución verde en el positivo del eje $x>0$: muestra cómo un incidente función (la función azul) distorsionarse por el Robin BC (la curva de color rojo).

En (1) y (2), podemos observar que, incluso para un idénticamente cero de la onda incidente ($f=0$), el "espurio" término exponencial $g(0)\mathrm{e}^{-\alpha(ct-x)}$ todavía existe en la solución cuando se $g(0)\neq 0$. Esto nos invita a pensar que $g(0)=0$.

Para resumir, una desenfrenada ola $\mathrm{e}^{-\alpha(ct-x)}(g(0)-f(0))$ surge en la solución tan pronto como $g(0)\neq f(0)$, y esto es muy extraño. En consecuencia, la pregunta es: ¿hay algún problema en el desarrollo? Hay buenas razones para pensar que $g(0)=f(0)$ , pero no clara matemática evidencia en este punto.

1 https://www.studocu.com/en/document/technische-universiteit-delft/structural-dynamics/lecture-notes/lecture-notes-and-exercises-on-wave-dynamics-of-structures/1377306/view

2 https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula

Answer 1

Permítanos simplificar un poco la solución aportada y ampliar el dominio de la integración de $(0,x)$ a $(-\infty,x)$ que es el más adecuado. La solución final para la educación a distancia inducida por la condición de contorno es así $$g(\xi)=f(\xi)+\mathrm{e}^{-\alpha\xi}\Bigl(A-2\alpha\int_{-\infty}^{\xi} \mathrm{e}^{\alpha s}f(s)\mathrm{d}s\Bigr)$$ donde $A$ es la constante de integración, lo que conduce a $$u(x,t)=f(ct+x)+f(ct-x)+\mathrm{e}^{-\alpha(ct-x)}\Bigl(A-2\alpha\int_{-\infty}^{ct-x} \mathrm{e}^{\alpha s}f(s)\mathrm{d}s\Bigr)$$ Nos damos cuenta de que para una fuga onda incidente $f=0$, el término $A\mathrm{e}^{-\alpha(ct-x)}$ que aún participa en la solución. La singularidad de $u$ no está garantizada. Esto nos invita a tener una mirada en el problema original cuando las condiciones iniciales son considerados. El problema ahora es: $$ \begin{aligned} &\partial_2^2u(x,t)-c^2\partial_1^2u(x,t)=0\\ &\partial_1u(0,t)=\alpha u(0,t)\\ &u(x,0)=u_0(x)\quad\text{and}\quad \partial_2u(x,0)=v_0(x) \end{aligned} $$ donde $u_0(x)$ e $v_0(x)$ son dadas. Básicos de la evolución [2] muestran que $$ \begin{aligned} 2f(x)&=u_0(x)+\frac{1}{c}\int_{-\infty}^x v_0(s)\mathrm{d}s-B\\ 2g(x)&=u_0(-x)-\frac{1}{c}\int_{-\infty}^{-x} v_0(s)\mathrm{d}s+B\\ \end{aligned} $$ donde $B$ es una constante. Desaparición de las condiciones iniciales, es decir, $u_0(x)=v_0(x)=0$, implica que $g$ es la función constante, lo que implica $A=0$. Desde $A$ no dependen de las condiciones iniciales, que siempre se desvanece cuando el problema se lee como un Problema de Valor Inicial. La singularidad de $u$ ahora está garantizado.

Para resumir, los "molestos" término se desvanece cuando el problema se lee como un Problema de Valor Inicial, pero sigue siendo lo contrario.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula