Prueba de identidad

Question

Mientras navega por la internet hoy en día, me encontré con la siguiente imagen: (la imagen completa se puede encontrar aquí - crédito a Цогтгэрэл Гантөмөр)

Ahora, sería, naturalmente, parece que podemos extender esto a una infinita producto; en concreto, yo diría que a partir de este post que hemos

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{ \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}} \cdots}$$

donde definimos este producto formalmente por $$\frac{\pi}{3} = \prod_{n=1}^\infty \frac{2}{a_n} $$ where $a_n$ is defined by $a_n = \sqrt{2+a_{n-1}}$ with initial value $a_0 = \sqrt{3}.$

However, I have never seen this expression for $\pi$ in the literature. Given this product comes from a geometric argument bounding the value of $\pi$ yo estaría totalmente de esperar que este producto estudiado, pero no sé dónde buscar. La mayoría de productos similares a soy consciente de que es $$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdots$$ namely formula $(65)$ on this page.

I would imagine that, like this similar looking formula for $\frac{2}{\pi},$ the above product for $\frac{\pi}{3}$ debe ser el resultado de la evaluación de algunas función racional de las funciones trigonométricas, pero, ¿cómo ir sobre esto no es inmediatamente claro para mí.

Es alguien consciente de una prueba existente o refutación de este producto en la literatura, o de lo contrario puede dar uno?

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Edit 1: he comprobado numéricamente con el siguiente rápido y sucio código Javascript, que parece implicar la convergencia es decentemente rápido:

a = Math.sqrt(3);
piEstimate = 1;
for (i = 0; i < 100; i++) {
  a = Math.sqrt(2 + a);
  piEstimate *= 2/a;
}
console.log(3 * piEstimate)

Answer 1

El anidado de las raíces cuadradas sugieren Viète la fórmula y una manera de que la fórmula puede ser derivado, de Euler de la identidad del producto para la función de sinc: $$\frac{\sin x}x=\cos\frac x2\cos\frac x4\cos\frac x8\dots$$ Viète la fórmula se obtiene sustituyendo $x=\frac\pi2$. Utilizamos $x=\frac\pi3$lugar: $$\frac{\sin\pi/3}{\pi/3}=\cos\frac\pi6\cos\frac\pi{12}\cos\frac\pi{24}\dots$$ $$\frac{\sqrt3/2}{\pi/3}=\frac{\sqrt3}2\cos\frac\pi{12}\cos\frac\pi{24}\dots$$ $$\frac3\pi=\cos\frac\pi{12}\cos\frac\pi{24}\dots$$ Mediante la aplicación de la mitad de ángulo fórmula $\cos\frac x2=\sqrt{\frac{1+\cos x}2}=\frac{\sqrt{2+2\cos x}}2$ repetidamente tenemos $$\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2$$ $$\cos\frac\pi{24}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}2$$ y así sucesivamente, produciendo $$\frac3\pi=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}}2\cdots$$ y a partir de ahí la expresión deseada para $\pi$.