Demostración en teoría de grupos del teorema de Euler ( $a^{\phi(m)} \equiv 1\mbox{ }(\mbox{mod }m)$ si $\gcd(a,m)=1$ )

Question

Desde Introducción clásica a la teoría moderna de los números de Ireland y Rosen, página 33:

Corolario 1 (Teorema de Euler). Si $(a,m) = 1$ entonces $a^{\phi(m)} \equiv 1\,(m)$ .

Prueba. Las unidades en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ forman un grupo de orden $\phi(m)$ . Si $(a,m) = 1$ , $\bar{a}$ es una unidad. Así, $\bar{a}^{\phi(m)} = \bar{1}$ o $a^{\phi(m)} \equiv 1\,(m)$ .

Si lo interpreto correctamente, esta prueba utiliza implícitamente el hecho (?) de que si $G$ es un grupo y $x\in G$ entonces $x^{|G|}=1$ , donde $1$ es el elemento de identidad de $G$ .

Si esto es cierto, ¿alguien puede explicar por qué? (No he tenido ningún contacto previo con la teoría de grupos).

Answer 1

Sí, $x^{|G|} = 1$ es correcta para cualquier grupo finito $G$ y cualquier $x \in G$ .

1. (Teorema de Lagrange) Si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $|H|$ es un divisor de $|G|$ .

2. Si $x \in G$ , entonces hay un número entero positivo más pequeño $k$ tal que $x^k = 1$ . Este número $k$ se llama el orden de $x$ .

3. Si $k$ es el orden de $x$ entonces $\{1, x, x^2, \ldots, x^{k-1}\}$ es un subgrupo de $G$ teniendo $k$ elementos. En el paso 1, $k$ es un divisor de $|G|$ Así que $kl = |G|$ para algún número entero $l$ .

4. $x^{|G|} = x^{kl} = (x^k)^l = 1^l = 1$ .

Answer 2

Hay otra prueba que funciona para cualquier grupo abeliano finito (es decir, conmutativo) $A$ . Para cualquier $a\in A$ la cartografía $x\mapsto ax$ es una biyección $A\to A$ (esto funciona en cualquier grupo). Utilizando la conmutatividad obtenemos $$ \prod_{x\in A} x = \prod_{x\in A} ax = a^{|A|} \prod_{x\in A} x. $$ Multiplicando por la inversa del producto se obtiene $a^{|A|}=1$ .

Answer 3

Sí, eso es lo que está pasando. Cualquier elemento a la potencia del tamaño del grupo da la unidad.

En primer lugar, es necesario conocer el Teorema de Lagrange: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange 's_theorem_(group_theory)

Entonces tienes que observar lo siguiente:

$1)$ El orden de $x$ es igual al orden del grupo cíclico generado por $x$ , que se suele denominar $\langle x \rangle$ .

$2)$ Por el teorema de Lagrange tenemos que el orden de cualquier subgrupo de $G$ divide el orden de $G$ . Es decir, si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $\frac{|G|}{|H|}$ es un número entero.

$3)$ Dado $x^{|G|}=x^{|H|\cdot k}$ , donde $H=\langle x\rangle$ y $k$ es un número entero por nuestra observación anterior. Entonces $$x^{|G|}=x^{|H|\cdot k}=(x^{|H|})^k=e^k=e$$ Donde utilizamos el hecho de que $|H|$ es el orden de $x$ por observación $1$ .

Answer 4

Lagrange dice que el orden de un subgrupo divide el orden del grupo (finito).

Ahora toma cualquier elemento $g$ entonces genera un subgrupo cíclico $\langle g \rangle$ . Su orden es el más pequeño $n$ tal que $g^n = e$ .

Desde $n$ divide $|G|$ debemos entonces tener que $g^{|G|} = e$ .