Entendiendo una famosa prueba por Jitsuro Nagura

Question

Voy paso por paso a través de una prueba por Jitsuro Nagura que se puede encontrar aquí

Nagura muestra:

$\frac{\Gamma'}{\Gamma}(x) - \frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac{x+n-1}{n}) = \int_0^\infty\frac{1}{1-e^{-t}}(e^{-\frac{x+n-1}{n}t} - e^{-xt})dt > 0 (x > 1)$

Entonces él dice:

$\frac{1}{n}\log\Gamma(x) - \log\Gamma(\frac{x+n-1}{n})$ es una función creciente al $x \ge 1$.

No tengo claro cómo esto sigue. No me queda claro donde $\frac{1}{n}$ sigue. Si alguien podría explicar como la conclusión de la siguiente manera, me sería de gran aprecio.

Gracias,

-Larry

Answer 1

El logarítmica de la derivada de una función $f$ es $$ \frac{d}{dx}\log f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} $$ y, más en general $$ \frac{d}{dx}\log f(ax+b) = \frac{f}{f}\Big(ax+b\Big) $$ a partir de la cual podemos ver que $$ \frac{\Gamma'}{\Gamma}\big(x\big)-\frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{x+n-1}{n}\right) = \frac{d}{dx}\left[\log \Gamma(x)-n\log \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)\right] $$ El lado izquierdo (es decir, la derivada) es positivo cuando se $x>1$, por lo tanto la expresión entre corchetes es cada vez mayor. Ahora divida por $n>1$ para obtener el resultado.