El lema de Goursat caracteriza los subgrupos de productos directos. ¿Existe una caracterización similar para los subgrupos de productos semidirectos? ¿Y si solo me interesan los subgrupos normales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta corta es que casi no hay nada tan agradable como Goursat del Lexema. Sin duda se puede reducir fácilmente a los casos en que $\pi_K(H)=K$, muy similar a la que puede reducir Goursat del Lema para el caso de un subdirect producto, pero después de que esto se vuelve complicado. Para dar una idea, aquí hay tres referencias.
Un teorema de Rosenbaum (Die Untergruppen von halbdirekten Produkten, Rostock. De matemáticas. Kolloq. Nº 35 (1988), 21-30) da (de la MathScieNet Revisión MR991728 (90c:20032)):
Teorema. Un conjunto $U$ de los elementos de la semidirect producto $G=NK$ $N\triangleleft G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si
- $UN\cap K$ $U\cap K$ son subgrupos de $G$;
- $U\cap N$ es un subgrupo y $UK\cap N$ es una colección de $U\cap N$-cosets en $N$; y
- Hay una asignación $\varphi$ definida para todos los $g\in UK\cap N$ asignación de $(U\cap K)g$ en algunos coset $n(U\cap N)$,$n\in N$, la satisfacción de $\varphi(g_1g_2)=g_2^{-1}\varphi(g_1)g_2\varphi(g_2)$.
El criterio fue utilizado por Gutiérrez-Barrios de desarrollar un criterio para un conjunto de elementos para ser un subgrupo normal de la semidirect producto (Die Normalteiler von halbdirekten Produkten. Wiss. Z. Pädagog. Hochsch. Erfurt/Mühlhausen De Matemáticas.-Natur. Reihe 25 (1989), no. 2, 108-114. MR1044548 (91b:20029))
Usenko (Subgrupos de semidirect productos, traducción al inglés en Ucraniano De Matemáticas. J. 43 (1991), no. 7-8, 982-988 (1992), MR1148867 (92k:20045)) utiliza cruzado homomorphisms para el estudio de los subgrupos de semidirect productos.
