$A$ es una matriz definida postivie simétrica. Demuestre que$A^k$ también es un deinito positivo

Question

Deje $A\in M_n(\mathbb{R})$, una simétrica positiva definida la matriz. Demostrar que para cada $k\in\mathbb{N}$, $A^k$ también es positiva definida.

Así que desde $A\in M_n(\mathbb{R})$ es simétrica y definida positiva, sabemos que hay una invertible $P$ tal que $P^tAP = \text{Diag}(c_1,\ldots,c_n)$ tal que $c_1,\ldots ,c_n > 0$.

Creo que es suficiente para demostrar que para $k=2$ y el resto se da por inducción.

También sé que la Matriz de congruencia es una relación de equivalencia, así que he intentado "jugar" con las definiciones para inferir algo acerca de la $A^2$ pero aun no tengo algo útil.

Answer 1

Enfoque alternativo:

• Para cualquier$M$,$MM^T$ es positivo definido
• Cada matriz definida positiva simétrica tiene una raíz cuadrada definida positiva positiva única

A partir de ahí, tenemos $$ A ^ k = \ sqrt {A} ^ k [\ sqrt {A} ^ k] ^ T $$ La conclusión es la siguiente.

Answer 2

Para probar que$A^k$ es positivo definido, es suficiente para probar que sus valores propios$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ son estrictamente positivos.

Por otro lado, si$\mu_1,\dots,\mu_n$ son los valores propios de$A$ entonces$\mu_i>0$ y$\lambda_i=\mu_i^k$, para todos$i$. Por lo tanto,$\lambda_i>0$ para todos$i$.

Para mostrar que$\lambda_i=\mu_i^k$, puede proceder por inducción. La idea es que si$v_i$ es el vector propio asociado con$\mu_i$, entonces

\begin{align} A^kv_i=&A^{k-1}(Av_i)=A^{k-1}(\mu_i v_i)=\mu_i A^{k-2}(A v_i)\\&=\mu_i^2 A^{k-3}v_i=\dots =\mu_i^{k-1}Av_i=\mu_i^{k}v_i. \end{align}

Answer 3

Aquí es un más acercamiento elemental. Se aplica al $A$ es Hermitian positiva definida (y, en particular, cuando se $A$ es simétrica positiva definida).

1. $A^0=I$ es claramente positiva definida. Por supuesto, también lo es $A^1=A$.
2. Poderes positivos de $A$ es positiva definida, porque al $r=0$ o $1$, $A^r$ es positiva definida y, por tanto, $x^\ast A^{2k+r}x=(A^kx)^\ast A^r(A^kx)>0$ para cualquier vector real $x$.
3. $A^{-1}$ es positiva definida debido a $x^\ast A^{-1}x=(A^{-1}x)^\ast A(A^{-1}x)>0$.
4. Por un argumento similar a (2), las potencias negativas de $A$ (es decir, poderes positivos de $A^{-1}$) son positivos en definitiva.