Límite de la secuencia recursiva

Question

Intento demostrar que el límite de la siguiente secuencia recursiva es 4.

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + 2$ y $a_{1} = \frac{1}{2}$ .

¿Podría alguien darme una pista sobre cómo iniciar este problema? Llevo un tiempo atascado en esto.

Answer 1

Otra forma de demostrar el límite es $4$ ...

Por la respuesta de mixedmath sabes que la secuencia está acotada por arriba y es creciente, por lo que hay un límite (finito), digamos, $L$ . Toma el límite en ambos lados:

$\lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{2}a_n + 2)$

Así que,

$L = \frac{1}{2}L + 2$

lo que significa

$L = 4$ .

EDITAR:

Este método puede generalizarse para encontrar los límites de otras funciones definidas recursivamente, por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ y $a_0 = \sqrt{2}$

¿Puedes demostrar que el límite existe, y utilizando el método anterior encontrar el valor?

Answer 2

Así que primero hay que demostrar que converge.

La inducción le dirá que cada término está limitado por $4$ . La inducción también puede decir que la secuencia es monótona creciente. Por lo tanto, la secuencia converge a algún número.

A continuación, observe que $a_n/2 + 2 = \frac{a_n + 4}{2}$ de manera que constantemente está tomando la media aritmética de sus términos con $4$ .

Answer 3

$4 - a_{n+1} = 2 - \frac 1 2 a_n$ Así que

$4 - a_{n+1} = \frac 1 2 ( 4 - a_n )$ . Además

$4 - a_1 = 3 \frac 1 2$

Así que podemos tener una función $f_n$ en los números naturales tal que:

$f_n = 4 - a_n$

Por las recursiones anteriores, demostramos que $f_n = 7 \left( \frac 1 2 \right)^n$ . Ahora debes demostrar que esta función se aproxima $0$ como $n$ se acerca al infinito.

Answer 4

Toma $f(x) = \frac{1}{2}x+2$ entonces $f: [1/2, 4] \to [1/2, 4]$ como demuestran unos cálculos sencillos.

Además $|f(x)-f(y)| = \frac{1}{2}|x-y|$ así que por el teorema del punto fijo de Banach $x_n = f^{n-1}(1/2)\to L$ donde $f(L) = L$ es decir $L = 4$ .