Probar que $a_n = \{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\}$ es una secuencia acotada, $ n\in\mathbb{N}$

Question

Cómo probar lo siguiente:

$a_n = \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ es una secuencia acotada, $ n\in\mathbb{N}$

Answer 1

Permítanme denotar $S_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}$ \begin{align*} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n &=1+ {_nC_1} \frac{1}{n}+ {_nC_2} \bigg(\frac{1} {n}\bigg)^2+..........+{_nC_n} \bigg(\frac{1}{n}\bigg)^n\\ &=1+ n \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!} \bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2+ \frac{n(n-1)(n-2)}{2!} \bigg(\frac{1}{n}\bigg)^3+..........+\frac{n(n-1)(n-2)....(n-(n-1))}{n!}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^n\\ &=1+ 1+ \frac{(1-\frac{1}{n})}{2!} + \frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})} {3!}+..........+\frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}).....(n-\frac{n-1}{n})} {n!}\\ &<1+ 1+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+..........+\frac{1}{n!}\\ &<1+ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1} {2^2}+..........+\frac{1}{2^{n-1}}\\ &=1+\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}\\ &=1+2\bigg(1-\frac{1}{2^n}\bigg)\\ &=3-\frac{1}{2^{n-1}}\\ &<3\\ \end{align*>

$S_n$ está acotado por 3.

También hay que tener en cuenta que $S_n>2$.

Aquí no estoy escribiendo la razón en cada paso, espero que entiendas.

Answer 2

Esto se puede mostrar muy rápidamente con la desigualdad $\log (1+u) \leq u$. De hecho, $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \exp\left(n\log(1+\frac{1}{n})\right) \leq\exp\left(n\times\frac{1}{n}\right) $$ Esto te da a $e$ como cota superior. De hecho, esta es la mejor cota posible ya que también es el límite de la secuencia.

Answer 3

Como señala Weson Jiang, $a_n = \left(n + \frac{1}{n}\right)^n > n^n$, y $n^n\to\infty$ cuando $n\to\infty$, por lo que $a_n\to\infty$ también.

Puede que hayas querido demostrar que $\left\{b_n\right\}_{n\in\Bbb{N}} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n\in\Bbb{N}}$ es una sucesión acotada. El teorema del binomio implica que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k = 0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{1}{n^k}$, entonces \begin{align*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n &= \sum_{k = 0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{1}{n^k}\\ &=\frac{1}{1} + n\frac{1}{n} + \begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}\frac{1}{n^2} + \ldots + \frac{1}{n^n}\\ &\leq 1 + 1 + \frac{n^2}{2!}\frac{1}{n^2} + \frac{n^3}{3!}\frac{1}{n^3} + \ldots + \frac{n^n}{n!}\frac{1}{n^n}\\ &< 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} + \ldots\\ &< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} + \ldots\\ &= 1 + \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{2^k}\\ &= 1 + 2 = 3, \end{align*} por lo tanto, la sucesión está acotada por arriba por $3$.

Answer 4

A continuación está la misma respuesta que la de Ju'x, pero en un lenguaje ligeramente diferente. Queremos mostrar que $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \lt e$, o equivalentemente que $1+\frac{1}{n}\lt e^{1/n}$. La expansión en serie de $e^{1/n}$ es una suma de términos positivos, los dos primeros de los cuales son $1$ y $\dfrac{1}{n}$.

La desventaja es que este enfoque no está disponible si pretendemos definir $e$ como el límite de $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$.

Answer 5

Hubo un comentario que decía que puedes usar $\text{AM} \ge \text{GM}$ para demostrar la acotación de esto.

Aquí hay una prueba. Como efecto secundario, también probamos la convergencia.

Primero mostramos que $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ es monótonamente creciente. Demostramos esto, usando $\text{AM} \ge \text{GM}$.

Tenemos que, tomando $n$ copias de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ y una copia de $1$ que,

$$\frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \dots + \left(1 + \frac{1}{n}\right) + 1}{n+1} \gt \sqrt[n+1]{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$$

es decir,

$$ \frac{n+2}{n+1} \gt \sqrt[n+1]{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$$

y entonces

$$\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \gt \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Ahora usamos $\text{AM} \ge \text{GM}$ (¡de nuevo!).

Tomamos $n$ copias de $1$ y una copia de $\frac{1}{2}$ para obtener

$$\frac{n + \frac{1}{2}}{n+1} \ge \sqrt[n+1]{\frac{1}{2}}$$

es decir,

$$ 2^{\frac{1}{n+1}} \ge \frac{2n+2}{2n+1}$$ es decir

$$ 2 \ge \left(1 + \frac{1}{2n+1}\right)^{n+1} $$

y entonces $$ 4 \ge \left(1 + \frac{1}{2n+1}\right)^{2n+1} $$

Dado que la secuencia es monótonamente creciente, esta cota se aplica a toda la secuencia.

(Efecto secundario: Dado que la secuencia es monótona, y acotada, es convergente)