Estoy luchando con una estimación en una prueba del teorema ergódico puntual que se discute en T. Ward y M. Einsiedler: Ergodic Theory with a view towards Number Theory, que se deja como ejercicio. Primero daré una descripción de la prueba para aclarar la notación, luego señalaré la estimación que me está dando problemas y después expondré lo que he ``descubierto'' hasta ahora (que no es mucho, por desgracia):
Teorema ergódico puntual: Dejemos que $(X,\mathscr{B},\mu)$ sea un espacio de probabilidad, $T:(X,\mathscr{B})\to(X,\mathscr{B})$ que preserva la medida, $f:X\to\mathbb{C}$ una función integrable y medible, es decir $\int_{X}|f|\operatorname{d}\mu<\infty$ . Sea $$A_{N}(f)(x):=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(T^{n}(x))\quad \forall x\in X, \forall N\geq 1$$ Entonces existe una función integrable $f^{\ast}$ tal que la secuencia $(A_{N}(f))_{N\in\mathbb{N}}$ converge a $f^{\ast}$ en casi todas partes.
Hablemos rápidamente de la estructura de la prueba, que nos dice lo que ya sabemos y la estimación que me da problemas.
La prueba: Comenzamos asumiendo que $f$ es casi seguramente delimitado . Una vez comprobado este caso, utilizaremos la densidad de $L_{\mu}^{\infty}(X,\mathscr{B})$ en $L_{\mu}^{1}(X,\mathscr{B})$ para deducir el caso general. Sabemos por la teorema ergódico medio (que aún no requiere la acotación de $f$ ), que podemos encontrar un casi seguro $T$ -invariante, función integrable $F$ tal que: $$F={\lim_{N\to\infty}}^{L_{\mu}^{1}}A_{N}(f)$$ es decir $\lVert F-A_{N}(f)\rVert_{1}\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}0$ . Por lo tanto, la afirmación se convierte en: que $F$ ser un representante de la $L_{\mu}^{1}\cap L_{\mu}^{\infty}$ -límite de $(A_{N}(f))$ entonces $A_{N}(f)$ converge a $F$ punto de vista casi seguro. Esta afirmación se formaliza como sigue: $$\mu(\{x\in X; \lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(f)(x)|>0\})=0$$ Obsérvese que la afirmación se desprende de: $$\mu(\{x\in X; \lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(f)(x)|>\epsilon\})<2\epsilon \quad\forall\epsilon>0$$ mediante una argumentación estándar (aquí mi estimación es un poco más débil que en la referencia original, pero esto no debería afectar al resultado). Arreglar $M\in\mathbb{N}$ y $\epsilon>0$ Entonces sabemos, por la teorema ergódico máximo aplicado a las funciones $g_{1}:=F-A_{M}(f)$ y $g_{2}:=A_{M}(f)-F$ (por eso el 2 aparece en mi discusión) que: $$\mu(\{x\in X;\sup_{n\geq 1}|A_{N}(F-A_{M}(f))|>\epsilon\})<2\epsilon$$ Ahora viene la estimación crítica: Los autores afirman que, para las $M\in\mathbb{N}$ se mantiene: $$\begin{equation}\exists N_{0}\in\mathbb{N}\exists C_{M}>0:\quad N\geq N_{0}\Rightarrow|A_{N}(f)-A_{N}(A_{M}(f))|\leq C_{M}\frac{\lVert f\rVert_{\infty}}{N}\end{equation}$$ Dada la estimación crítica y $A_{N}$ -invarianza de $F$ encontramos: $$\begin{align}\{x\in X;\lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(f)(x)|>\epsilon\}=&\{x\in X;\lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(A_{M}(f))|>\epsilon\}\\ \stackrel{\mu}{=}&\{x\in X;\lim\sup_{N\to\infty}|A_{N}(F-A_{M}(f))(x)|>\epsilon\}\\ \subseteq & \{x\in X;\sup_{N\geq1}|A_{N}(F-A_{M}(f))(x)|\}\end{align}$$ donde para $A,B\in\mathscr{B}$ tiene $A\stackrel{\mu}{=}B$ si $\mu(A\Delta B)=0$ . Esto demuestra fácilmente la afirmación.
Me dirijo a usted para la estimación crítica: No consigo obtener el $N$ en el denominador. Mi idea era hacer lo siguiente: Iba a comprobar que $A_{N}(A_{M}(f))\to F$ en $L_{\mu}^{1}$ lo que parece bastante intuitivo, es decir, ambas secuencias tienen el mismo límite. Esto parece bastante obvio, ya que el límite es $T$ -invariante. Entonces pretendía utilizar la acotación de $f$ para encontrar una estimación uniforme de la diferencia. Pero siempre tengo el problema de que la suma sobre $n$ y $N^{-1}$ se anulan entre sí. Además todas esas estimaciones son pero casi seguras. ¿Podría darme una pista de por qué se mantiene la estimación crítica?
Nótese que estoy particularmente interesado en conseguir que esta prueba funcione, no en ninguna prueba del Teorema de Convergencia Puntual.
Estimación detallada: Gracias a @Davide Giraudo, creo que he conseguido probarlo si $f$ está honestamente acotado. En lo que sigue dejemos que $\xi:=(\xi_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia acotada y $U_{N}(\xi):=\sum_{n=0}^{N-1}\xi_{n}$ . Usando su idea, obtenemos: $$U_{N}(U_{M}(\xi))=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=n}^{M+n-1}\xi_{m}$$ Un poco de dibujo e inducción muestra que para los fijos $M\in\mathbb{N}$ y $N\in\mathbb{N}$ mucho más grande que $M$ obtenemos: $$\begin{align}U_{N}(U_{M}(\xi))=&\sum_{m=0}^{M-1}(m+1)\xi_{m}+M\sum_{m=M}^{N-1}\xi_{m}+\sum_{m=N}^{M+N-2}(M+N-1-m)\xi_{m}\\ =&U_{N}(\xi)+\sum_{m=0}^{M-1}m\xi_{m}+(M-1)\sum_{m=M}^{N-1}\xi_{m}+\sum_{m=N}^{M+N-2}(M+N-1-m)\xi_{m}\end{align}$$ para que: $$U_{N}(U_{M}(\xi))-MU_{N}(\xi)=\sum_{m=0}^{M-1}(m+1-M)\xi_{m}+\sum_{m=N}^{M+N-2}(M+N-1-m)\xi_{m}$$ Como $|m+1-M|\leq M$ para $m\in\{0,\ldots,M-1\}$ y $|M+N-1-m|\leq M+|N-m|\leq 2M$ para $m\in\{N,\ldots,M+N-2\}$ encontramos que para $x\equiv (f(T^{n}(x)))_{n\in\mathbb{N}}$ se mantiene: $$\begin{align}|A_{N}(A_{M}(x))-A_{N}(x)|=&\frac{1}{NM}|U_{N}(U_{M}(x))-MU_{N}(x)|\\ \leq &\frac{1}{NM}\left\{\sum_{m=0}^{M-1}2M\lVert f\rVert_{\infty}+\sum_{m=N}^{M+N-2}2M\lVert f\rVert_{\infty}\right\}\leq\frac{2M}{N}\lVert f\rVert_{\infty}\end{align}$$
Me queda asegurar que si $f$ está casi seguramente acotada, la estimación sigue siendo válida en casi todas partes.
Rango de validez de la estimación: De hecho, esto es fácil. Dejemos que $f$ l casi seguro que está acotado, entonces existe $B\subseteq\mathscr{B}$ con $\mu(B)=1$ y $f|_{B}$ limitado por $\lVert f\rVert_{\infty}$ . Mira $B':=\cap_{n\geq 0}T^{-n}(B)$ entonces $\mu(B')=1$ ya que su complemento es una unión contable de conjuntos nulos y la estimación se mantiene claramente en $B'$ . Pero esto requiere que cambiemos a: $$\{x\in X;\lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(f)(x)|>\epsilon\}\stackrel{\mu}{=}\{x\in X;\lim\sup_{N\to\infty}|F(x)-A_{N}(A_{M}(f))|\}$$ en lugar de una estricta igualdad. Pero esto no plantea ningún problema.
