Dado $a\equiv x\pmod p$ y $b\equiv y\pmod q$ ¿podemos deducir una congruencia que relacione $a,b,c,y$ modulo $pq$ ?

Question

Supongamos que \begin{align*} a &\equiv x \pmod p \\ b &\equiv y\pmod q.\end{align*}

¿Implica esto una ecuación que incluya los números $a,b,x,y$ modulo $pq$ ? Un posible ejemplo sería $$ab \equiv xy\mod pq$$

Answer 1

He aquí una pregunta equivalente: dado que $(a - x)$ es un múltiplo de $p$ y $(b - y)$ es un múltiplo de $q$ ¿podemos concluir que algo es un múltiplo de $pq$ ? La respuesta es sí: $(a - x)(b - y)$ , $(a - x)q$ y $p(b - y)$ todos deben ser múltiplos de $pq$ . Así que, entre otras cosas, tenemos:

$$\begin{align*}(a - x)(b - y) &\equiv 0\phantom{0} \pmod{pq}\\ aq &\equiv xq \pmod {pq}\\ pb &\equiv py \pmod{pq}.\end{align*}$$

La primera ecuación puede quedar más bonita si la multiplicamos:

$$ab + xy \equiv ay + xb \pmod{pq}.$$

Answer 2

Existe una ley similar $$a \equiv b\pmod n \\c \equiv d\pmod n $$ implica $$ac \equiv bd\pmod n \\a+c \equiv b+d\pmod n $$