Hartshorne Ejercicio I.4.3: funciones racionales y funciones regulares.

Question

Deje $f$ ser la función racional en $\mathbb{P}^2$$f = x_1/x_0$. Encontrar el conjunto de puntos donde $f$ es defiend y describir la correspondiente función regular.

Mi pregunta: yo sé que el conjunto de puntos donde $f$ está definido es $\{[1: x_1: x_2] \in \mathbb{P}^2\}$. No es la correspondiente función regular también acaba de $f$ sí, o de la función regular $g = x_2/x_0$ (dos obras, y ambos mapas $\mathbb{P}^2$$\mathbb{A}^1$)? Entonces, ¿qué es este problema tratando de conseguir?

Ahora piensa de esta función como un racional mapa de$\mathbb{P}^2$$\mathbb{A}^1$. Incrustar $\mathbb{A}^1$$\mathbb{P}^1$, y deje $\phi: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^1$ ser el resultiong racional mapa. Encontrar el conjunto de puntos donde $\phi$ está definido, y describir la correspondiente morfismos.

Mi pregunta: Desde $\phi$ $f \circ \epsilon$ donde $\epsilon$ es la incrustación, ¿por qué no $\phi$ definido en el mismo conjunto como $f$ está definido? Tampoco estoy seguro de lo que estoy tratando de resolver por aquí.

Answer 1

(a) La función racional $f=\frac{x_1}{x_0}\in k(x_0,x_1,x_2)$ es regular en el subconjunto $U_0=\{[x_0:x_1:x_2]\in \mathbb P^2\vert x_0\neq 0]\}\subset \mathbb P^2$ y define en que se abren subconjunto de la función regular $$f_U:U\to \mathbb A^1:[x_0:x_1:x_2]\mapsto\frac{x_1}{x_0}$$ (b) The rational map $\phi:\mathbb P^2--\to \mathbb P^1$ induced by $f$ is regular on the open subset $V=\mathbb P^2\setminus \{[0:0:1]\} \subconjunto \mathbb P^2$ and defines on that open subset the regular function $$f_V:V\to \mathbb P^1:[x_0:x_1:x_2]\mapsto [x_0:x_1]$$ (c) Of course we have $U\subconjunto de V\subconjunto \mathbb P^2$ and thus letting $$\epsilon:\mathbb A^1\hookrightarrow \mathbb P^1:x_1\mapsto [1:x_1]$$ be the canonical embedding we have the formula $$\epsilon \circ f_U=f_V\vert U: U\to \mathbb P^1$$ This is not very surprising: increasing the target of $f_U$ from $\mathbb A^1$ to $\mathbb P^1$ allows $f_U$, which is regular on $U$, to be extended to the function $f_V$, regular on the larger set $V$.

(d) Observe cuidadosamente que no hay ninguna forma para ampliar el mapa $$f_V:V=\mathbb P^2\setminus \{[0:0:1]\}\to \mathbb P^1$$ to a regular map $\mathbb P^2 \to \mathbb P^1$: the point $[0:0:1]$ is said to be a point of indeterminacy for the rational map $\phi:\mathbb P^2--\to \mathbb P^1$.