Grupo fundamental de$\mathbb{R}P^2$

Question

tengo que calcular el fundamentalgroup del plano proyectivo $\Bbb{R}P^2$ con Van-Kampen Teorema. Por lo tanto, yo uso el fundamentalpolygon dado en el Plano Proyectivo. Tengo para la presentación del grupo:

$$\pi_1(X,x_0)=<a,b :abab=1>$$

Pero esta no es la presentación de $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$, es? Pero este havt a ser el resultado. Wat está mal? Yo lo hice de esta manera:

Elija el conjunto abierto $U$ a medida que el avión sin un disco y $V$ como el cim un poco más grande, a continuación, la cim hemos omitido en $U$, dhe $U\cap V$ es un anillo. Entonces me doy cuenta de $\pi_1(V)=0$, con lo trivial y $\pi_1(U\cap V)=\Bbb{Z}$. $U\cap V$ tiene por lo tanto un generador, supongamos $g$ (correr alrededor del anillo). Una incrustación en $V$ da a la palabra vacía (nul-homotopical). Con una incrustación en $U$ $g$ homotópica a que el bucle se ejecuta a lo largo del límite del polígono. Esto le da a la palabra abab. Así, tenemos la presentación como en el anterior. ¿Dónde está el error? Espero que alguien pueda dar indicios o la buena solución. Gracias!

Answer 1

Si usted toma un cuadrado de $[0,1]\times[0,1]$ con la identificación de $(x,0)\sim (1-x,1)$ $(0,y)\sim (1,1-y)$ luego de esta identificación sólo identifica a $(0,0)$$(1,1)$, e $(0,1)$$(1,0)$.

Así que el camino de $a$ correspondiente a $t\to (t,0)$ no es un bucle en el real proyectiva del plano.

No seguro lo que la solución "correcta" para esto es para el cómputo de los $\mathbb RP^2$.

Si usted toma $U$ a ser la imagen de $(0,1)\times (0,1)$ $V$ a ser la imagen de $T^2$ donde $T=[0,\frac{1}{3})\cup(\frac{2}{3},1]$, $U$ claramente es simplemente conectado y creo que es fácil demostrar que $V$ es retráctil para un círculo - la imagen de $T^2$ es una cinta de Moebius.

Estos son esencialmente los mismos $U,V$ eligió, pero creo que escoger un cuadrado de $U$ hace más evidente lo $V$ es.