Ecuación funcional en números enteros

Question

¿Existe una función $f$ tal que

$$f(x,y,n)=f(x+y,y-x,n+1)$$ $$f(x,y,n)\neq f(x+1,y,n)$$ $$f(x,y,n)\neq f(x,y+1,n)$$

donde $x,y$ son números enteros, $n$ es un número entero positivo y el rango de $f$ es un finito conjunto? Si es así, ¿cuál es el menor número de valores $f$ puede alcanzar?

EDIT: borrado

EDIT: Para hacer el patrón de abajo más agradable aquí está mi sugerencia final para una condición adicional para hacer este problema no trivial:

Para cada $x,y,n$ debe existir un $a>0,b>0$ tal que para todo $k,l$

$$f(x,y,n)=f(x+ak,y+bl,n)$$

(todos los números son enteros, n es positivo). Esto básicamente establece que los colores iguales deben tener al menos un desplazamiento de rejilla vectorial regular.

Mi objetivo es reducir el número de colores.

EDIT: Lo siento, por la confusión. Aquí está mi explicación de lo que está pasando y un último intento de ajustar las condiciones.

Son tres pasos consecutivos en la animación. En la segunda imagen, el cuadrado se mueve para dejar espacio a nuevos cuadrados azul claro. En la tercera imagen los cuadrados celestes han alcanzado su tamaño completo y el proceso comienza de nuevo. Este es un problema que tengo al colorear un tablero de damas. Si alguien quiere traducir un Python de Processing a Java y publicarlo en Openprocessing, estaré encantado.

SOLUCIÓN: Gracias a Michael el patrón animado ahora funciona y se ve como:

Answer 1

Puedo hacerlo con alcance $\mathbb Z/5\mathbb Z$ :

Para $n=1$ definir $f(x,y,n)=x+y\bmod 5$ . Supongamos que para algunos $n\in\mathbb N$ hemos definido $f(x,y,n)$ para todos $x,y$ tal que las propiedades 2 y 3 se cumplen. Queremos definir $f(x,y,n+1)$ . Si $x\equiv y\pmod 2$ Debemos dejar que $f(x,y,n+1)=f(\frac{x-y}2,\frac{x+y}2,n)$ . Si $x\not\equiv y\pmod 2$ podemos asignar $f(x,y,n+1)$ arbitrariamente, excepto que debe diferir de $f(x-1,y,n+1)$ , $f(x+1,y,n+1)$ , $f(x,y-1,n+1)$ , $f(x,y+1,n+1)$ . Como sólo se excluyen los cuatro valores como máximo, esto es posible.

Answer 2

EDIT: Pruebo el mod 5 en lugar del mod 3. Que tal $$[1,3]\left[\begin{array}{cc}3&2\\3&3\end{array}\right]^n\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\pmod{5}$$
La matriz es para deshacer la transformación lineal en la primera condición, y el vector es para hacer que las cosas cambien al sumar o restar 1 a cualquier número.

Las fórmulas son $$f(x,y,1)=x+3y\mod5\\f(x,y,2)=2x+y\mod5\\f(x,y,3)=-x+2y\mod5\\ f(x,y,4)=3x+4y\mod5\\repeat$$

O, algo más sencillo, $2^n(x+3y)\pmod5$