Suma inclinada de variables aleatorias independientes

Question

Sea $(X_i)_i$ una secuencia de variables aleatorias iid centradas con varianza finita. Es verdad que

PS

Debería ser una especie de corolario del teorema del límite central, pero no sé cómo demostrarlo como convergencia. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Mirando en los casos en que $n$ es en un intervalo de la forma $\left[N^{1/0.6},(N+1)^{1/0.6}\right)$, nos damos cuenta de que la quería convergencia sostiene que si logramos demostrar los siguientes: para cada uno positivo $\eta$, el siguiente convergencia, tiene casi seguramente: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac 1{n^{1/2+\eta}}\left\lvert \sum_{i=1}^nX_i \right\rvert=0. $$ Uno puede utilizar la acotada ley de la iterada logaritmos, que dice que bajo las condiciones de la apertura de correos, de la variable aleatoria $$ M:=\sup_{n\geqslant 3}\frac 1{\sqrt{n\log\log n}}\left\lvert \sum_{i=1}^nX_i \right\rvert $$ es casi seguro finito. Por lo tanto, $$ \frac 1{n^{1/2+\eta}}\left\lvert \sum_{i=1}^nX_i \right\rvert\leqslant \frac{\sqrt{\log\log n}}{n^\eta}M. $$

Otra forma es el control de los momentos de orden dos de $2^{-N\left(1/2+\eta\right)}\max_{1\leqslant n\leqslant 2^N}\left\lvert \sum_{i=1}^nX_i \right\rvert$ mediante el uso de Doob la desigualdad. Esto será la finitud de $$ \sum_{N\geqslant 1}2^{-N\left(1/2+\eta\right)}\max_{1\leqslant n\leqslant 2^N}\left\lvert \sum_{i=1}^nX_i \right\rvert, $$ que es suficiente para concluir.

Answer 2

Deje $\alpha\in (0,1)$ y $m=\lfloor n^{\alpha} \rfloor$ . Luego $$ \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ left | \ sum_ {i = 1} ^ {\ lfloor n ^ {\ alpha} \ rfloor} X_i \ right | \ le \ frac {1} { m ^ {1 / (2 \ alpha)}} \ left | \ sum_ {i = 1} ^ {m} X_i \ right | \ to 0 \ quad \ text {as} $$ por Marcinkiewicz – Zygmund SLLN.