Demuestre que$x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3$ tiene infinitas soluciones enteras.

Question

Demuestre que$x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3$ tiene infinitas soluciones enteras.

No puedo encontrar una idea sobre cómo proceder con las preguntas anteriores. He encontrado solo la solución obvia$(1,1,1)$.

¿Podría por favor proporcionar algunos consejos e ideas sobre cómo proceder con la pregunta anterior? Además, ¿podemos encontrar las soluciones?

Gracias.

Answer 1

Dejar $z=-x$. Luego$$2x^2+y^2=y^3$ $$$2x^2=(y-1)y^2$ $ Si$\frac{y-1}2=k^2 - $ cuadrado perfecto, entonces$$y=2k^2+1, x=k(2k^2+1)$ $ Respuesta:$$x=k(2k^2+1), y=2k^2+1, z=-k(2k^2+1)$ $

Segundo método:

Dejar $y=1+a, z=1-a$. Luego$$x^3+2(1+3a^2)=2(1+a^2)+x^2$ $$$x^2-x^3=4a^2.$ $ Let$1-x=4p^2$, luego$$x^2(1-x)=(4p^2-1)^24p^2=(2a)^2.$ $ Let$a=p(4p^2-1)$. Entonces$$(x,y,z)=(1-4p^2, 1+p(4p^2-1), 1-p(4p^2-1))$ $