$\int_0^1 u(t)\phi''(t)dt \geq 0,\ \forall \phi\in C_0^1((0,1)), \ \phi\geq 0$ . Es $u$ ¿convexo?

Question

Supongamos que $u\in C([0,1])\cap C^1((0,1))$ satisface para todo $\phi\in C_0^2((0,1))$ , $\phi\geq 0$ $$\int_0^1 u(t)\phi''(t)dt \geq 0$$

¿Podemos concluir que $u$ es convexo?

Nota: $C_0^2((0,1))$ es el espacio de todos los $C^2$ funciones que son cero en una vecindad de $\{0\}$ y $\{1\}$ .

Actualización: Tal vez esto Correo electrónico: puede ayudar.

Answer 1

Dejemos que $\psi(x)$ sea un valor no negativo $C_c^{\infty}$ con la función $\int_0^1 \psi(x) = 1$ . Entonces, dado $0 < a < b < 1$ y un gran $N$ mira $$\int_0^1 u'(t)[N\psi(N(x - b)) - N\psi(N(x-a))]\,dx $$ Desde $u'(t)$ es continua y $\int_0^1 \psi(x) = 1$ , como $N$ va al infinito esto va a $u'(b) - u'(a)$ . Por otra parte, dado que $\int_0^1 [N\psi(N(x - b)) - N\psi(N(x-a))]\,dx = 0$ , hay un $C_c^{\infty}$ función $\alpha_{a,b,N}(x)$ tal que $\alpha_{a,b,N}'(x) = N\psi(N(x - b)) - N\psi(N(x-a))$ y si $N$ es lo suficientemente grande su soporte será un subconjunto compacto de $(0,1)$ . En este caso, la integración por partes da $$\int_0^1 u'(t)[N\psi(N(x - b)) - N\psi(N(x-a))]\,dx = -\int_0^1 u(t)\alpha_{a,b,N}''(x)\,dx $$ La construcción es tal que cada $\alpha_{a,b,N}(x) = N \int_0^x [\psi(N(y - b)) - \psi(N(y-a))]\,dy$ es no positivo para todo $x$ por lo que, según las suposiciones dadas, el lado derecho de la ecuación anterior es no negativo. Por lo tanto, tomando los límites como $N$ va al infinito vemos $u'(b) - u'(a) \geq 0$ para todos $a$ y $b$ . Esto implica $u$ es convexo como se pide.

Answer 2

Creo que tengo una respuesta a esta pregunta, por favor verifique si es correcta.

Considera esto Correo electrónico: . Utilizando el mismo argumento que él (el argumento está en donde demuestra que $\Delta u_\epsilon(x) =0$ ), podemos concluir que $u''_\epsilon (x)\geq 0$ , $\forall x\in (0,1)$ , o de forma equivalente, $u_\epsilon$ es convexo. Ahora bien, como $u_\epsilon(x)\rightarrow u(x)$ podemos concluir que $u$ es convexo.