Dada una expresión algebraica número $\alpha$ con un mínimo de polinomio $P(x)$ grado $2^n$, ¿cómo puedo decidir si existen enteros $a_1,\ldots,a_n$ tal que $\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted está tratando de averiguar si un polinomio irreducible de grado $2^n$ tiene el grupo de Galois $(\Bbb Z/2 \Bbb Z)^n$.
Un método para obtener información acerca de un grupo de Galois es factorizar el polinomio modulo pequeño de los números primos $p$. Excepto cuando la extensión ramifies en $p$, su factorización se corresponde con el ciclo de descomposición de la $Frob_p$ automorphism, que de acuerdo a Cebotarev del teorema, se distribuyen de manera uniforme" en el grupo de Galois (no abelian grupo de Galois, sólo la conjugación de la clase de $Frob_p$ está bien definido, pero podemos actuar como si esto tenía sentido).
Los únicos grupos cuyos elementos no triviales son de orden $2$ son isomorfos a $(\Bbb Z/2\Bbb Z)^m$ algunos $m$, por lo que es suficiente para comprobar que el modulo $p$, el polinomio se divide completamente en factores lineales con una probabilidad de $2^{-m}$, y se divide completamente en cuadrática de los factores que el resto del tiempo (no hay híbrido caso, porque la extensión de Galois : dada una raíz $\alpha$, todas las raíces están en $\Bbb Q(\alpha)$).
El producto de factores lineales mod $p$$X^p-X$, y el producto de irreducibles cuadrática factores es $(X^{p^2}-X)/(X^p-X)$, así que usted puede calcular el máximo común divisor de estos polinomios con $P$. No puede ser repetido sin factores de la extensión se ramificó en $p$ (especialmente para los pequeños números primos), así que asegúrese de repetir el proceso hasta que se escape de los factores de $P$.
El problema es adivinar en qué prime $p$ debemos detener la comprobación. Hay un bien llamado el artículo "Un destino al menos el primer ideal en el Chebotarev Densidad Teorema" por J. C. Lagarias, H. L. Montgomery, A. M. Odlyzko
(y seguramente de muchos otros).
He visto, asumiendo GRH, los límites de la forma $O(\log(d)^2$ donde $d$ es el discriminante de la extensión (que no sabemos). Dependiendo de la constante de que esto podría ser un muy buen límite superior.
