En$\Delta ABC$, vamos a$x=\sin{A},y=\sin{B},z=\sin{C}$, muestre que$$(x+y+z)^2\ge 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ $
Intenté CS y más, pero sin éxito.
Estoy buscando una prueba humana, que podamos usar durante la competencia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Necesitamos demostrar que$$\left(\sum\limits_{cyc}\frac{2S}{ab}\right)^2\geq4\sum\limits_{cyc}\frac{16S^4}{a^4b^2c^2}$ $ o$$a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)$ $ o$$\sum\limits_{cyc}(a^6b^2+a^6c^2-2a^4b^4-2a^4b^2c^2+2a^3b^3c^2)\geq0$ $ o$$\sum\limits_{cyc}(a-b)^2(a^2b^2(a+b)^2-a^2b^2c^2)\geq0$ $ o$$\sum\limits_{cyc}(a-b)^2a^2b^2(a+b+c)(a+b-c)\geq0$ $ ¡y hemos terminado!
