La razón por la que pensamos que no hay ninguna respuesta a esta pregunta, que va a ser muy esclarecedor es este: el uso de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^+)$ es arbitrario. Esta $\sigma$-álgebra no se utiliza en la definición de los procesos estocásticos, ni en la definición de una martingala. Es simplemente un 'bonito' y común $\sigma$-álgebra en el positivo de reales.
Si usted mira la prueba de que el movimiento Browniano es conjuntamente medibles usted verá que usted no hace el trabajo mucho con $\mathbb{R}^+$, la mayoría de el argumento se hace con los juegos y la mensurabilidad en la probabilidad de espacio $\Omega$. La relevancia de $\mathcal{B}(\mathbb(R)^+)$ es bastante otra manera de expresar la continuidad de movimiento Browniano.
Así que mi 'engañar' respuesta es esta: reemplace $\mathcal{B}(\mathbb{R}^+)$ por algunos artificialmente menor $\sigma$-álgebra, tales como la generada por los intervalos de la forma $(x,y)$ donde$x \in [0, 1]$$y \in [2, \infty)$. Entonces usted puede demostrar que decir, el movimiento Browniano no es conjuntamente medibles con respecto a los productos de esta $\sigma$-álgebra y $\mathcal{F}$.
Obviamente, esto es bastante insatisfactoria, especialmente si usted ha estado buscando trucos para responder a su pregunta "correctamente". Pero yo diría que cualquier respuesta apropiada es sólo va a estar haciendo la misma cosa que he hecho aquí: utilizando una $\sigma$-álgebra en la definición de forma conjunta medibles, por lo que afirman que es natural de importancia en la definición de los procesos estocásticos, y, a continuación, utilizando un conjunto no esta $\sigma$-álgebra en la definición de su proceso, contradiciendo la afirmación de que no era natural. Esto es lo que tu no martingala no conjuntamente un proceso cuantificable.
