¿Cuál es la mejor manera de complementar una clase de variables complejas para que sea más completa para un estudiante de matemáticas?

Question

Para el próximo semestre I plan de tomar un "complejo de variables" que muchas personas, incluyéndome a mí, no lo consideraría un verdadero análisis complejo de la clase. Sé que el curso es probable que utilice un texto similar a aquellos por Saff & Snider o Brown & Churchill porque es más de una encuesta en la clase destinada a dar los fundamentos para que conducen a la verdadera complejidad del análisis de las clases y dar las herramientas adecuadas para físicos e ingenieros. Como alguien interesado en las matemáticas teóricas, yo, naturalmente, quiero ampliar mis conocimientos más allá de lo que se enseña, ver a un más riguroso de presentación del material, tienen aplicaciones inclinándose más hacia la teoría de los números de la física, y ver topológico construcciones en acción. Sé que Ahlfors' Análisis Complejo es muy común en el texto de los instructores y los estudiantes que recurrir para lo que estoy buscando, pero es muy caro ($200 USD + para un ~300 páginas de texto), y he oído que la gente describe como "difícil" para el estudio independiente, a menos que realmente sepas lo que estás haciendo antes. Hay un texto mejor para mí seguir? Veo que el MIT tiene su 18.112 curso (Funciones de una Variable Compleja), un nivel de licenciatura curso basado en Ahlfors, que aparece en OCW, por lo que tendría algo para seguir y probar a mí mismo, pero yo prefiero no usar Ahlfors. He visto recomendaciones a otras personas a utilizar Visual de Análisis Complejo para el auto-estudio, pero este libro es todavía más dirigido a la licenciatura de física de los estudiantes y el como.

¿Cuáles son las mejores alternativas para un texto como Ahlfors? Que son los más adecuados para el estudio independiente, para alguien que trabaja junto a un menos matemáticamente riguroso curso? Que son los más integral? Hay que seguir, naturalmente, desde donde los libros como que por Brown & de la Iglesia a dejar? Que son los más completos, y son los que conducen a la teoría analítica de números o dan una idea de la complejidad del análisis en varias variables?

Answer 1

Recomiendo Stein y Shakarchi del Análisis Complejo. Es claro, fácil de leer, y da una prueba del Teorema de los números Primos. También tiene un poco más de material sobre la teoría analítica de números en el último capítulo, en las representaciones como las sumas de cuadrados (a través de funciones theta).

Me gustaría complementar esto con el material de Cauchy teorema de Ahlfors de texto'. Stein y Shakarchi dar un handwavey prueba de una versión simple en su texto, que creo que es apropiado para una primera lectura, y dejar algunos comentarios sobre versiones a su apéndice. No recuerdo si en realidad probar una versión más general en que el apéndice, pero Ahlfors definitivamente no.

Answer 2

No puedo recomendar lo suficiente Visual Complex Analysis ; diría que es uno de los diez mejores libros de texto de matemáticas que se hayan escrito. No estoy seguro de por qué crees que este libro está dirigido a estudiantes de física. Lo leí como estudiante de posgrado en matemáticas puras, después de haber tomado dos cursos de posgrado en análisis complejo, y sentí que me proporcionó una visión significativa del análisis complejo que no había obtenido de ninguno de los cursos.

Answer 3

Siempre he gustó mucho Gamelin como referencia en el análisis complejo. Todo lo básico que se encuentran en ese libro. Creo que es una entretenida lectura, como Gamelin del sentido del humor a menudo muestra. Por ejemplo, se refiere a la de Cauchy-Goursat teorema como "estéticamente agradable como es inútil". Con toda seriedad, hay un montón de problemas, junto con sugerencias y soluciones parciales, en caso de que te quedas atascado.

Una queja que he escuchado sobre el libro es que las pruebas incorporadas en el texto, y no como parte de una prueba separada de látex medio ambiente. Algunas personas parecen pensar que esto hace claro cuando una prueba es el principio o el final, pero yo personalmente no he tenido ningún problema con esto.