La banda de Moebius no es homeomorfa a Cilindro.

Question

He estado intentando pensar en una forma bastante básica de demostrar esto, pero parece un poco esquiva. En el caso con límite (mirándolos como cocientes en $ [0,1] \times [0,1] $ ), se pueden distinguir de la conectividad de la frontera (gracias Stefan), pero me interesa el caso abierto (mirándolos como cocientes en $ [0,1] \times (0,1) $ es decir, como colectores sin límite).

Si no hay una forma tan básica de hacerlo, sería interesante leer sobre algunos métodos avanzados que ustedes conozcan.

Answer 1

Este es el argumento más elemental que se me ocurre. Sea $C$ denotan el cilindro abierto y $M$ denotan la banda de Moebius abierta. Nótese que existe un subconjunto compacto $K\subset C$ tal que para cualquier compacto $K'$ tal que $K\subseteq K'\subset C$ , $C\setminus K'$ está desconectado (por ejemplo, puede tomar $K$ para ser el "ecuador" de $C$ ). Por otro lado, afirmo que ningún subconjunto compacto $K\subset M$ tiene esta propiedad. En efecto, dejemos que $K\subset M$ ser compacto; identificar $M$ como cociente de $[0,1]\times(0,1)$ en la forma estándar, hay entonces un poco de $\epsilon>0$ tal que $K$ está contenida en la imagen de $[0,1]\times[\epsilon,1-\epsilon]$ bajo el mapa cociente (por ejemplo, porque las imágenes de conjuntos de la forma $[0, 1] \times (\epsilon, 1-\epsilon)$ están abiertos y cubren $K$ ). Sea $K'$ sea esta imagen; entonces $K'$ es compacto, $K\subseteq K'\subset M$ y $M\setminus K'$ está conectado.

Answer 2

La compactación en un punto de un cilindro abierto es equivalente en homotopía a $S^2\vee S^1$ y la compactación de un punto de la banda de Moebius es simplemente $\mathbb RP^2$ . Las compactificaciones de un punto de los espacios homeomórficos tienen que ser también homeomórficas, pero dos espacios obtenidos tienen diferentes $\pi_1$ .

Answer 3

Como en la mayoría de las cuestiones en las que queremos evitar entrar en discusiones profundas, se trata de una cuestión de hasta dónde podemos llegar. Esto es lo que se me ocurrió para un argumento intuitivo:

En primer lugar, observamos que podemos incrustar (poner para que no cambie realmente) el cilindro $C$ en $\mathbb{R}^2$ . Piensa en sentar el cilindro sobre la mesa, poner las manos dentro y empujar los lados hacia abajo y hacia fuera, alejándose del centro.

Si el cilindro y la banda de Möbius fueran homeomorfos, también podríamos incrustarlo en el plano. Pero no podemos, y he aquí la razón:

Cualquier mapa de la banda de Möbius hacia el plano no será inyectivo, lo que significa que (al menos) dos puntos serán enviados al mismo lugar, sea como sea. Aquí está una banda de Möbius, con los dos lados identificados.

Y aquí está la misma banda de Möbius con dos círculos que sólo se cruzan una vez en la franja de Möbius. (Esta es la parte importante).

Si quisiéramos incrustar la banda de Möbius, también incrustaríamos los círculos. Así que pongamos primero el círculo rojo, de forma estándar, y luego intentemos poner el círculo azul.

Podemos ver ese círculo azul debe estar en ambos lados del círculo rojo, pero para que eso suceda, ellos debe se cruzan dos veces. Por tanto, no podemos incrustar la banda de Möbius en el plano, por lo que el cilindro y la banda de Möbius no son homeomorfos.

Answer 4

Un cilindro abierto tiene la propiedad de la curva de Jordan: si se elimina cualquier subconjunto homemórfico con un círculo, se obtiene un espacio que no está conectado por una trayectoria. Hay un círculo que se puede eliminar de cualquier banda de Möbius que deja el espacio conectado.

Por supuesto, el teorema de la curva de Jordan es notoriamente complicado y técnico de demostrar, pero al menos es intuitivo lo que sucede.

Answer 5

De acuerdo, voy a lanzar mi sombrero en el anillo aquí. El cilindro es orientable mientras que la banda de Möbius no lo es. Es fácil ver que la banda de Möbius no lo es, ya que se puede encontrar un camino explícito de inversión de la orientación. Demostrar que el cilindro es orientable es un poco más complicado, pero sigue siendo fácil ya que se tiene un método para definir una orientación consistente en todo el cilindro. Por ejemplo, pensando en el cilindro como incrustado en el espacio, tome una normal que apunte hacia afuera y utilice la regla de la mano derecha para inducir una orientación del cilindro.