Demostrar que $\gamma^{\frac{q-1}{2}}=-1$ $\mathbb{F}_q$ al $q$ es una extraña energía primaria y $\mathbb{F}_q^*=<\gamma >$.

Question

He escrito una prueba de esto, sin embargo creo que puede haber una manera más fácil de ir sobre ella y estoy curioso por cualquier sugerencia. También no estoy de ver donde mi prueba fallará si $q$ fue incluso (aparte del hecho de que $2$ no divide $q-1$). Aquí está mi prueba:

Deje $\gamma^t$ algunos $0\leq t \leq q-1$ ser el inverso aditivo de a$1$$\mathbb{F}_q$, lo $1+\gamma^t=0$. A continuación, $\gamma^i +\gamma^{t+i}=0$ todos los $0\leq i\leq q-2$ y, en general, podemos escribir el inverso aditivo de un elemento como el $-\gamma^i=\gamma^{t+i}$.

Entonces tenemos $\gamma^j=-(-\gamma^j)=-(\gamma^{j+t})=\gamma^{j+2t}$ por lo $2t\equiv 0 \mod q-1$ $t$ debe ser igual a $\frac{q-1}{2}$.

Answer 1

Podemos hacerlo de esta manera?

Desde $\gamma$ genera $\Bbb F_q^\ast$, lo que ha $q -1$ elementos, tenemos

$\gamma^{q - 1} = 1; \tag 1$

ahora

$(\gamma^{\frac{q - 1}{2}} - 1)(\gamma^{\frac{q - 1}{2}} + 1) = (\gamma^{\frac{q - 1}{2}})^2 - 1 = \gamma^{q - 1} -1 = 0, \tag 2$

por (1); también,

$\gamma^{\frac{q - 1}{2}} \ne 1; \tag 3$

de lo contrario, $\langle \gamma \rangle = F_q^\ast \tag 4$

sólo tendría $\frac{q - 1}{2}$ elementos, esto es, el orden de $\Bbb F_q^\ast$ sólo serían $\frac{q - 1}{2}$, no $q -1$; desde $q$ es una extraña prime,

$\dfrac{q - 1}{2} \ne q -1, \tag 5$

y por lo $\vert \Bbb F_q^\ast \vert = \frac{q -1}{2}$ es imposible. Por lo tanto (3) se une y podemos cancelar el factor de $\gamma^{\frac{q - 1}{2}} - 1$ (2), dejando

$\gamma^{\frac{q - 1}{2}} + 1= 0, \tag 6$

o

$\gamma^{\frac{q - 1}{2}} = -1. \tag 7$

Answer 2

Quiero a prueba del teorema de Wilson. Por Wilson del teorema, para el primer número de $q$, tenemos la siguiente relación: $$ 1\times 2 \times 3\times \cdots \times {p-1}=(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \etiqueta{1} $$ Debido a $\gamma$ es de los elementos primitivos de $\mathbb{F}^*$, entonces cada elemento de este campo puede ser mostrado como un poder de $\gamma$. Por lo tanto, la relación $(1)$ puede ser escrito como la forma siguiente: $$ \gamma^{i_1}\times\gamma^{i_2} \times \gamma^{i_3}\times \cdots \times \gamma^{i_{p-1}}\equiv -1 \pmod{q} \etiqueta{2} $$ Inversa de $\gamma^{i_j}$, $1\leq j \leq q-1$, es $\gamma^{q-1-i_j}$. Es fácil ver que todos los $\gamma^{i_j}$ tiene un diferente inversa($\gamma^{i_j}\neq \gamma^{-i_j}$) a excepción de dos elementos, $\gamma^0$$\gamma^{\frac{q-1}{2}}$. Por lo que la relación $(2)$ puede ser cambiado de la siguiente manera: $$ \gamma^{0}\times\gamma^{\frac{q-1}{2}} \equiv -1 \pmod{q} \etiqueta{2} $$ lo que completa la prueba.