¿Por qué la noción de función como una relación importante?

Question

Estoy leyendo Bartle y Sorbete de "Introducción al Análisis Real" y motivar a la definición de una función como una relación que hacer la declaración, "el matemático de los principios del siglo xix, la palabra "función" significaba una clara fórmula .... Esta comprensión excluido el caso de diferentes fórmulas en diferentes intervalos, de modo que las funciones no podrían definirse "en pedazos" ". (Luego pasar a hacer algunas generalizaciones acerca de los problemas relacionados con la distinción entre una función y sus valores y la dificultad con la interpretación de la frase "la regla de correspondencia")

Me parece que esta declaración poco convincente por 2 razones: en primer lugar, se definen las funciones definidas a trozos (como signum, por ejemplo), y nadie tiene ninguna dificultad para entender lo que se quiere decir con esto. En segundo lugar, parece que cada vez que trato de trabajar una prueba utilizando la definición de una función como una relación, parece mucho más difícil y complicado.

Hay aplicaciones o quizás áreas de matemáticas, uno de los encuentros más tarde, donde es realmente útil para ver las funciones desde este punto de vista, o es más como un "Bourbaki" definición para los puristas. El único caso que veo que esta definición es realmente útil en el nivel de matemáticas que estoy estudiando es si simplemente quiero dibujar una gráfica de alguna función general (sin fórmula) y afirman que es una función (b/c es un subconjunto del plano Cartesiano, que mediante la observación, puedo ver que pasa la prueba de la línea vertical).

Gracias, Matt

Answer 1

En primer lugar, en la teoría de conjuntos es muy útil para ver las funciones como conjuntos de pares ordenados. Esto nos permite usar $\subseteq$ a fin de ellos, y este es usado para forzar bastante a menudo, y obligando a que es una de las principales piedras angulares de la moderna teoría de conjuntos.

En segundo lugar, si usted quiere poner su matemáticas en un cierto fundamento, que desea ser capaz de y formalizar en algún contexto. La función, de hecho, cualquier objeto matemático, debe ser formalizada en un modo riguroso. No es suficiente que entendemos lo que significa, es importante que somos capaces de decir "No es un objeto en el universo que representa este concepto".

Además esto abre la puerta para una posible aterrador comprensión. Casi ninguna función de $\Bbb R$ a sí mismo es continuo. Podemos desarrollar la noción de "casi todos" y muestran que casi todas las funciones continuas no son diferenciables, y de los cuales casi ninguno es diferenciable con un continuo de derivados, y así sucesivamente.

Si una función era sólo "un poco de leche de fórmula con algunas básicas y elementales operaciones, tal vez definidas a trozos" entonces no seríamos capaces de tener este tipo de conocimiento. No podíamos haber dicho que la mayoría de las funciones continuas no tienen un derivado.

Y por último, esto permite que la extensión de la noción de "función" a partir de los valores reales a una noción arbitraria. Si tenemos dos espacios, entonces podemos decir que lo que se considera una función entre ellos, este impresionante generalidad es exactamente el corazón y el alma de las matemáticas. Es lo que en matemáticas se esfuerza por ser, y donde se desarrolla la mayoría.

Answer 2

Creo que usted necesita para comprender la perspectiva histórica. Aunque yo no soy un historiador de las matemáticas, de cualquier fuente que he leído sobre este tema me parece que antes de que el concepto de función fue formulado en conjunto teórico de términos (como una relación con algunas de las propiedades específicas) una función iba a ser dada por una fórmula que consistía algebraicas/trigonométricas/etc operaciones.Por ejemplo, $f(x) = x^{2}/(1 + x)$ se utiliza para una función, pero el siguiente ejemplo no podría ser llamada a una función: $f(x) = 0$ al $x$ es racional y $f(x) = 1$ si $x $ es irracional.

Durante el tiempo cuando los matemáticos fueron el estudio de series de Fourier y sus implicaciones en la que tuvieron que lidiar con muchos raro tipo de funciones que posiblemente podría nunca ser representada por una fórmula aún poseía de la serie de Fourier (que son, básicamente, de una suma de senos y cosenos). Entonces había muchas más de las cuestiones involucradas con el concepto de integral de una función y resultó que muchos raro discontinuo tipo de funciones integrables. Estas dificultades llevaron a la noción de función como una relación (o una regla de correspondencia) y la necesidad de una fórmula que fue retirado. En este sentido te aconsejo que lea la maravillosa libros "Un Enfoque Radical para Análisis Real" y "Un Enfoque Radical para Lebesgue de la Teoría de la Integración" por David M. Bressoud. Estos dos libros se tratan en detalle los problemas matemáticos que enfrentan intuitiva con la definición de una función que se basa en la fórmula.

También entiendo que usted no encontrará ningún problema con la definición de una función sin una fórmula precisamente porque los matemáticos ya han perforado este conjunto teórico de la definición en nuestros libros y mentes para 1 o 2 siglos. Pero antes de que estos conceptos fueron desarrollados era muy difícil lidiar con patológico funciones.